Study of the topology and the combinatorics of polyhedral products

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ポリヘドラルプロダクトとは、抽象単体複体の組み合わせ情報をもとに通られた直積空間を貼り合わせて得られる空間である。例えば、座標空間配置やその補空間、トーリックトポロジーの中心的研究対象である（実）モーメントアングル複体やDavis-Januszkiewicz空間はポリヘドラルプロダクトの例である。ポリヘドラルプロダクトのトポロジーの研究において重要なのは、もととなる抽象単体複体の組み合わせ構造とポリヘドラルプロダクトのトポロジカルな性質の間の対応関係を明らかにすることである。例えば、モーメントアングル複体やDavis-Januszkiewicz空間のコホモロジーは抽象単体複体のStanley-Reisner環やその導来代数であることが知られており、ポリヘドラルプロダクトがトポロジー、組み合わせ論、可換環論とを結びつけることがわかる。ポリヘドラルプロダクトと元となる抽象単体複体の組み合わせ構造との関係を調べるために、入江幸右衛門氏とファットウェッジフィルトレーションの理論を構築し、その応用として様々な結果を上げてきた。その一つが、閉曲面の三角形分割がGolodであることの特徴づけである。抽象単体複体のGolod性は古くから研究されているが、その組み合わせ的特徴づけは知られていない。当該年度は、３次元多様体の三角形分割のGolod性に関する研究を、ファットウェッジフィルトレーションを用いて行った。微分幾何学におけるタイトな埋め込みの組み合わせ版として、タイトな抽象単体複体が定義され、多様体の三角形分割の極小三角形分割と関連して盛んに研究されている。当該年度行なった研究により、Golod性、タイト性、ファットウェッジフィルトレーションの自明性が３次元多様体の三角形分割に対して同値であることを証明した。この結果は全く出自の違う抽象単体複体の性質を結びつける重要なものである。