数論的多様体の分岐とL-関数

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ArtinモチーフのTate twistに対するBloch加藤予想と関数等式とのcompatibilityについて研究した結果,それが(B^<ψ=p^γ>_<crys>∩B^+_<dR>)/Z_pt^γの構造を調べることに帰着された.Artinモチーフに対するBloch加藤予想と関数等式とのcompatibilityに関する下記の結果を,ChinbergのΩ(N/K,2)不変量に関する予想と関係づけられることがわかった.また(B^<ψ=p^γ>_<crys>∩B^+_<dR>)/Z_pt^γの構造をと,導手の理論との密接な結びつきが明らかになってきた.一咋年に自分が得た,局所Weil群の表現に対するε_0-因子の構成に関する結果が改良された,当時の結果では,係数環が剰余体が代数閉体の局所環であって,p-乗写像が全射となるものに対してしか,ε_0-定数が構成されていなかった.が、加法指標の値域を係数環と分離することにより,pが加逆となる,一般の可換noether環を係数環とする表現に対しても,同様にε_0-因子の理論が作れることがわかった.加藤和也氏により構成されているp-進ε-元の(ψ,Γ)-加群の視点からの見直しを行った結果,rank 1の表現に対する加藤氏のp-進ε-元は,一見Coleman巾級数を用いた,技巧的な方法を用いて構成されているように見えるが,(ψ,Γ)-加群の立場から見ると,p-進ε-元は,固定した1のp-巾根のsystem ε=(ζ_<p^n>)から作られる元[ε]∈Aに1∈Q_pを送ることにより得られるアーベル群の準同型Q_p→A^×を,通常の加法指標の類似と思い,Tateによるε-因子の構成と同様の構成を実施して構成したものである,という自然な見方ができることがわかった.係数をp-加逆な局所環に一般化したところでの,Langlands対応の問題は,定式化をすることがまず困難であるという問題があることがわかった.不分岐なところで考えると,表現そのものではなく,表現行列の固有多項式しか問題にしていない感が強い.Tameの部分に何らかの対応らしいものを見出すことが勝負だと思われる.ε-因子はそもそも表現行列の固有多項式にしか依存しないことも判明した.対応の確立のためには,tameな場合が本質的であると思われるが,それには,Bushnell, Kutzkoのtypeの理論を用いた,ε-因子の構成の理論(Bushnell, Henniart)と,自分のε_0-元の構成との関連をもっと追う必要があろう.