Ideals on Ρ_κλ and infinitary combinatorics related to large cardinal axiom

关于 Ρ_κλ 和与大基数公理相关的无限组合学的想法

• 批准号: 14540142
• 负责人: ABE Yoshihiro
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Kanagawa University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14540142/
• 关键词: Ρ_κλ; ineffable; partition property; stationary reflection; saturated ideal; club filter; cardinal invariant; forcing; Pκλ; stationary set; unbounded set; ineffability; normal ultrafilter; ideal; saturatlon; weak Freese-Nation Property; pr

(1)We proved any almost ineffable subset of Ρ_κλis ineffable provided that λ^<<κ>=2^λ.(2)We showed κ is not always λ^<<κ> ineffable even if it is λ ineffable.(3)The following sets were shown to have the weak partition property if Ρ_κλ has the property :(a){χ∈Ρ_κλ : χ∩κ is not an ordinal}, {χ∈Ρ_κλ : χ∩κ=|χ|}, and{χ∈Ρ_κλ : χ∩κ<|χ|}(b){χ∈Ρ_κλ : χ∩κ∈Α}where is Α any unbounded subset of κ.(4)We presented two forcing notions such that (a) and (b) holds in the generic extension respectively :(a)There exists a stationary subset of Ρ_κκ^+ which does not split into κ^+ many stationary sets.(b)There exists κ dense ideal on κ.These are simpler than known methods by Gitik for (a) and Woodin for (b).(5)We proved the following on stationary reflection (SR) :(a)If σ SR for Ρ_κλ holds and λ^2^<2<κ>=λ, then the σ club filter on Ρ_κκ is precipitous.(b)If κ SR for Ρ_<ω1>λ holds and λ^<2κ>=λ, then the club filter on κ has a weak covering property.(c)If κ SR for Ρ_<ω1>λ holds, λ^κ^+=λ, and 2^ω<κ<2^ω_1=^2<<κ>, then Ρ_κκ^+ splits into 2^ω_1 many stationary sets.(6)We built forcing models for (a)〜(c) respectively :(a)b=θ^*=cov(Μ), (b)d=θ^*ω_1 and θ=ω_1 and ω_2, (c)cov(Μ)=ω_1 and θ^*=θ=ω_2.(7)For partially orderd sets we define the property "SEP" to show :(a)non(Μ)=ω_1 when Ρ(ω) has SEP. If we further assume □ _<ω1>, then the minimal cardinality of almost disjoint family in Ρ(ω) is also ω_1.(b)We can build forcing models each of SEP for Ρ(ω) and -SEP for Ρ(ω).

(1)我们证明了 Ρ_κλ 的任何几乎不可言喻的子集都是不可言喻的，前提是 λ^<<κ>=2^λ。(2)我们证明了 κ 并不总是不可言喻的，即使它是 λ 不可言喻的。(3)如果 Ρ_κλ 具有以下性质，那么下列集合被证明具有弱划分性质：(a){χ∈P_κλ : χ∩κ 不是一个 序数}，{χεP_κλ : χ∩κ=|χ|}，和{χεP_κλ : χ∩κ<|χ|}(b){χεP_κλ : χ∩κεA}其中A是κ的任何无界子集。(4)我们提出了两个强制概念，使得(a)和(b)分别在通用扩展中成立 :(a)存在 Ρ_κκ^+ 的平稳子集，它不会分裂成 κ^+ 许多平稳集。(b)κ 上存在 κ 稠密理想。这些比 Gitik 的 (a) 和 Woodin 的 (b) 的已知方法更简单。(5)我们证明了关于平稳反射 (SR) 的以下内容：(a)如果 Ρ_κλ 的 σ SR 成立并且 λ^2^<2<κ>=λ，则 Ρ_κκ 上的 σ 俱乐部滤波器是陡峭的。(b)如果 Ρ_<ω1>λ 的 κ SR 成立且 λ^<2κ>=λ，则 κ 上的俱乐部滤波器具有弱覆盖性。(c)如果 Ρ_<ω1>λ 的 κ SR 成立，则 λ^κ^+=λ，并且 2^ω<κ<2^ω_1=^2<<κ>，则 Ρ_κκ^+ 分裂为 2^ω_1 个平稳集。(6)我们分别为 (a)〜(c) 建立了强迫模型：(a)b=θ^*=cov(Μ), (b)d=θ^*ω_1 和 θ=ω_1 和 ω_2， (c)cov(Μ)=ω_1 且 θ^*=θ=ω_2。 (7)对于偏序集合，我们定义属性“SEP”来显示：(a)non(Μ)=ω_1，当 Ρ(ω) 具有 SEP 时。如果我们进一步假设 □ _<ω1>，则 Ρ(ω) 中几乎不相交族的最小基数也是 ω_1。 (b)我们可以分别为 Ρ(ω) 建立 SEP 和 Ρ(ω) 的 -SEP 强迫模型。

项目成果

Sakae Fuchino: "All aspects of internal approachability and its application"Suri Kaiseki Kenkyusho Kokyuroku. 1304. 67-77 (2003)

渊野荣：《内部平易近人的各个方面及其应用》Suri Kaiseki Kenkyusho Kokyuroku。

Masahiro Shioya: "A saturated stationary subset of P_κλ"Mathematical Research Letters. 10・4. 493-500 (2003)

Masahiro Shioya：“P_κλ 的饱和平稳子集”数学研究快报 10・4（2003）。

Shizuo Kamo: "Cardinal invariants associated with some combinatorial statements"京都大学数理解析研究所講究録. 1304. 78-87 (2003)

Shizuo Kamo：“与某些组合语句相关的基数不变量”京都大学数学科学研究所 Kokyuroku. 1304. 78-87 (2003)。

Masahiro Shioya: "A saturated stationary subset of P_κκ^+"Mathematical Research Letters. 10. 493-500 (2003)

Masahiro Shioya：“P_κκ^+ 的饱和平稳子集”《数学研究快报》10. 493-500 (2003)。

Yoshihiro Abe: "Variants of subtlety in P_κλ"数理解析研究所講究録. 1304. 47-66 (2003)

Yoshihiro Abe：“P_κλ 中微妙的变体”数学科学研究所 Kokyuroku。1304. 47-66 (2003)。