正則保型形式を解として持つ線形微分方程式とその応用

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Full modular groupの任意の元に関する双有理変換と複素上半平面で定義された有理型函数を係数として持つ高階の確定特異型複素常微分方程式を考える。この複素微分方程式の任意の解である上半平面上の有理型函数に対して、上記双有理変換に関する重み付き保型変換を行なった函数が再び同じ複素微分方程式を満たす、即ち、微分方程式の解空間が、Full modular groupに関する重み付きの保型変換に関する作用について不変であるとする。このとき、我々はこの複素微分方程式をFull modular groupに関する重みを持つ保型微分方程式と呼ぶこととする。本研究では特にFull modular groupの楕円点、及び尖点にのみ特異点を持つ重さ整数の2階の保型微分方程式を取り上げ、その微分方程式の尖点近傍の厳密解をEisenstein級数とGaussの超幾何級数を用い表示することに成功した。また、上記保型微分方程式の特殊例として、重さに対して解空間が高い対称性を持ち、更に保型函数がその解となる一連の系列を構成することが出来た。これら結果は既に「Modular differential equations of second order with regular singularities at elliptic points for SL_2 (Z)」なる題でProceeding of the American Mathematical Societyに公表済みである。更に、複素上半平面上正則な2階の保型微分方程式を、数年来の研究テーマであるAtkinの直交多項式系と楕円曲線の超特異多項式の関係を示すことに応用した。このテーマについては既にThe Atkin orthogonal polynomials for congruence subgroups of low levelsと題した論文に纏め、The Ramanujan Journalに公表済みである。