正則保型形式を解として持つ線形微分方程式とその応用

以全纯形式为解的线性微分方程及其应用

• 批准号: 14740015
• 负责人: 堤 裕之
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Shimane University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740015/
• 关键词: 保形関数; 超幾何級数; 楕円曲線; 超特異多項式; 保型微分方程式; 保型関数; Rankin-Cohen bracket

Full modular groupの任意の元に関する双有理変換と複素上半平面で定義された有理型函数を係数として持つ高階の確定特異型複素常微分方程式を考える。この複素微分方程式の任意の解である上半平面上の有理型函数に対して、上記双有理変換に関する重み付き保型変換を行なった函数が再び同じ複素微分方程式を満たす、即ち、微分方程式の解空間が、Full modular groupに関する重み付きの保型変換に関する作用について不変であるとする。このとき、我々はこの複素微分方程式をFull modular groupに関する重みを持つ保型微分方程式と呼ぶこととする。本研究では特にFull modular groupの楕円点、及び尖点にのみ特異点を持つ重さ整数の2階の保型微分方程式を取り上げ、その微分方程式の尖点近傍の厳密解をEisenstein級数とGaussの超幾何級数を用い表示することに成功した。また、上記保型微分方程式の特殊例として、重さに対して解空間が高い対称性を持ち、更に保型函数がその解となる一連の系列を構成することが出来た。これら結果は既に「Modular differential equations of second order with regular singularities at elliptic points for SL_2 (Z)」なる題でProceeding of the American Mathematical Societyに公表済みである。更に、複素上半平面上正則な2階の保型微分方程式を、数年来の研究テーマであるAtkinの直交多項式系と楕円曲線の超特異多項式の関係を示すことに応用した。このテーマについては既にThe Atkin orthogonal polynomials for congruence subgroups of low levelsと題した論文に纏め、The Ramanujan Journalに公表済みである。

The definition of a rational type function with coefficients of a Full modular group of arbitrary elements is examined in relation to a complex prime upper half-plane. Any solution of a complex prime differential equation is a function of rational type on the upper half plane. The function of dual rational transformation is a function of type preserving transformation. The function of dual rational transformation is a function of type preserving transformation. The solution space of a complex prime differential equation is a function of type preserving transformation. A complex prime differential equation is a modular group. In this paper, we have successfully obtained the solution of the integral form-preserving differential equation of order 2 near the cusp of the Full modular group and the Gauss hypergeometric series. A special example of a form-preserving differential equation is given. The solution space is highly symmetric, and the form-preserving function is a series of solutions. The result is "Modular differential equations of second order with regular singularities at elliptic points for SL_2 (Z)". In addition, the relationship between the orthogonal polynomial system and the hyperspecific polynomial of the curve has been studied for several years. This issue is related to the topic of The Atkin orthogonal polynomials for congruence subgroups of low levels and the article published in The Ramanujan Journal.

项目成果

The Atkin orthogonal polynomials for congruence subgroups of low levels

低水平同余子群的阿特金正交多项式

• 期刊: The Ramanujan Journal (to appear)(印刷中)
• 作者: Hiroyuki Tsutsumi

Modular differential equations of second order with regular singularities at elliptic points for SL_2 (Z)

SL_2 (Z) 椭圆点处具有正则奇点的二阶模微分方程

• 期刊: Proceeding of the American Mathematical Society (to appear)(印刷中)
• 作者: Hiroyuki Tsutsumi;Hiroyuki Tsutsumi
• 通讯作者: Hiroyuki Tsutsumi

Hiroyuki Tsutsumi: "The Atkin orthogonal polynomials for congruence subgroups of low levels"The Ramanujan Journal. (to appear).

Hiroyuki Tsutsumi：“低水平同余子群的阿特金正交多项式”拉马努金杂志。