非線形常微分方程式の解の振動性と大域的漸近解析に関する研究

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本研究の目的は,非線形Sturm-Liouville微分作用素が主要部である2階及び高階の微分方程式並びに関連する関数微分方程式の解の振動性と漸近挙動の精密な解析に焦点を当てて解の全体構造の解明を目指す研究を行うことである.本年度は,初年度の研究活動の継続で,単独の2階並びに高階の非線形Sturm-Liouville微分方程式に対して,"非振動解の無限遠における漸近挙動の精密な分析","全ての解が振動である状況の特徴付け"などを課題として研究を行った.[研究実施内容]1.新しい結果の予想をするために,この分野の過去の研究史の総括から着手した.総括の作業は文献の収集やインターネット等を活用して必要な情報を蓄積して,それを整理し,問題の解決に有効な解析的,幾何学的、位相数学的な方法,技法の適用を網羅することを行い,自らの手で新たな方法論を開発し計算を実行した.さらに,無限区間における大域的挙動(振動性と無限遠における漸近挙動)を推測するために,計算ソフトMATLABを援用した.2.研究経過を定期的に振動理論の世界的権威である草野尚教授(福岡大学)に報告して批判と助言を求めた.この分野の世界の情報が集中する草野教授との緊密な連絡は重要性をもった.3.4階非線形微分方程式の振動理論の研究に功績がある呉奮韜副教授(中国)と討論,情報交換を行った.[研究成果]1.Karamataによって創造された正則変動関数論の枠組みの中で,2階非線形微分方程式の解の漸近挙動を解析することを試み,2つの解がある種の正則変動関数のクラスに属するための必要十分条件を求めた.2.4階のずれの変数を含む関数微分方程式の解の振動性を対応する4階常微分方程式の振動性に対比させて研究した.3.高階のSturm-Liouville微分作用素を含む非線形微分方程式の非振動解を無限遠点における漸近挙動に従って分類し,その分類にリストされた各タイプの解が存在するための条件を求めた.