非線形分散型方程式の孤立波の安定性の研究

昨年度に引き続き,非線形シュレディンガー方程式(1)iu_t+Δu+f(u)=0 (t,x)∈R×R^n,のスピンをもつ定常波解の安定性を研究した。方程式(1)はレーザー光のモデル方程式の一つであり,uを(1)の解とすると|u|はレーザー光の強さを表すことが知られている.f(u)=|u|^<p-1>uという形の非線形項の場合,エネルギーの最も低い定常波解(ground state)は、非線形項の冪が1<P<P_c=1+4/nならば安定、p【greater than or equal】p_cならば不安定性であることが知られている.高エネルギー定常波解はground stateに比べ不安定になり易いと考えられるが,現在まで1<p<p_cの場合に不安定な高エネルギー定常波解は見つかっていない.本研究では,空間2次元の場合に,極座標で表すと(2)e^<imθ>w(r) (m∈N)の形で表されるスピンをもつ解のうち結節線を持たない定常波解の,Ambrosetti-Malchiodi-Ni('03)の方法に従ってm→∞での極限形を計算し,P【greater than or equal】2でmが十分大きな場合にはが(2)の形の解が線形不安定になることを示した.昨年度までの研究により,線形不安定な解は不安定なことがわかっているので,これで2【less than or equal】p<p_cの場合に不安定な解が構成できたことになる.従来知られている不安定な解はすべてGrillakis-Shatah-Strauss'87らの不安定性の判定条件を満たすものであるが,今回構成した不安定定常波解は,この条件を満たさないものとなっている.

昨年度に引き続き,非線形シュレディンガー方程式(1)iu_t+Δu+f(u)=0 (t,x)∈R×R^n,のスピンをもつ定常波解の安定性を研究した。方程式(1)はレーザー光のモデル方程式の一つであり,uを(1)の解とすると|u|はレーザー光の強さを表すことが知られている.f(u)=|u|^<p-1>uという形の非線形項の場合,エネルギーの最も低い定常波解(ground state)は、非線形項の冪が1<P<P_c=1+4/nならば安定、p【greater than or equal】p_cならば不安定性であることが知られている.高エネルギー定常波解はground stateに比べ不安定になり易いと考えられるが,現在まで1<p<p_cの場合に不安定な高エネルギー定常波解は見つかっていない.本研究では,空間2次元の場合に,極座標で表すと(2)e^<imθ>w(r) (m∈N)の形で表されるスピンをもつ解のうち結節線を持たない定常波解の,Ambrosetti-Malchiodi-Ni('03)の方法に従ってm→∞での極限形を計算し,P【greater than or equal】2でmが十分大きな場合にはが(2)の形の解が線形不安定になることを示した.昨年度までの研究により,線形不安定な解は不安定なことがわかっているので,これで2【less than or equal】p<p_cの場合に不安定な解が構成できたことになる.従来知られている不安定な解はすべてGrillakis-Shatah-Strauss'87らの不安定性の判定条件を満たすものであるが,今回構成した不安定定常波解は,この条件を満たさないものとなっている.