非線形分散型方程式の孤立波の安定性の研究

非线性色散方程孤波稳定性研究

• 批准号: 12740095
• 负责人: 水町 徹
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Yokohama City University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2000 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-12740095/
• 关键词: 一般化KdV方程式; 孤立波; 相互作用; 多パルス解; 安定性解析

本年度は,前年度に引き続き一般化KdV方程式u_t+u_<xxx>+f(u)_x=0の複数の孤立波が現れる解の漸近挙動について研究した.非線形項は,f(μ)=|u|^<p-1>uという形でp<5の場合を考える.方程式が完全可積分系となる場合,多ソリトン解と呼ばれる特殊解が存在し,この解の各孤立波は安定であることが知られている.一方非可積分系の場合には,多パルスの特殊解の存在は知られていない.今年MartelとMerleが保存量を空間的に局所化し,多パルス解の安定性を議論するのに十分な擬似的な保存量を構成することで,多パルス解の漸近安定性を証明した.しかし彼らの結果は各孤立波を進行速度の大きな順に十分に分離した状態で右から並べ,各パルスの相対速度もある程度以上大きな場合を扱っており,以下に述べる各孤立波が各孤立波の相対速度が十分小さな場合の研究結果を含んでいない.前年度に,各孤立波の相対速度が十分小さな場合には,その線形化方程式の解は,0-固有値に相当する部分を除けば孤立波と同じ速さで動く進行波座標系において局所的に減衰することを考察した.本年度はその結果を複数のパルスの相互作用を調べるのに応用し,3<p<5で2つの孤立波が十分に分離しかつ相対速度が小さい場合には,同符号の孤立波は互いに反発して遠ざかり,異符号の孤立波は互いに引き付けあい近づくことを証明した.この問題では,各孤立波の安定性をリャプノフの方法を用いて示すのが困難なため,一般化KdV方程式の非線形散乱に関するHayahshi-Naumkin(1998)の結果を応用した.非線形散乱の結果を応用した複数の孤立波の安定性に関する研究は,空間1次元の非線形Schrodinger方程式のPerelmanの研究(1997)が知られているが,その場合は孤立波の相互作用は自明なものであり,本研究は孤立波の相互作用により各孤立波の速度が変化する様子を厳密に計算している点が目新しい.

今年，我们从上一年继续研究解决方案的渐近行为，其中广义KDV方程U_T+u_ <xxx>+f（u）_x = 0出现。非线性项被认为具有p <5，f（μ）= | u |^<p-1> u。当方程是一个完全集成的系统时，有一个特殊的解决方案，称为多氧化解决方案，众所周知，该解决方案中的每个孤立波都是稳定的。另一方面，在不可融合系统的情况下，尚无多脉冲特殊解决方案的存在。今年，Martel等。 Merle在空间上定位了保守的量，并构建了伪固定的量，以讨论多脉冲溶液的稳定性，证明了多渗水溶液的渐近稳定性。但是，他们的结果表明，每个孤立波是从右侧排列的，并按顺序排列了，并且每个脉冲的相对速度也高于一定程度，并且不包括研究结果，即如下所述，每个孤立波的相对速度相对速度足够小。在上一年，如果每个孤立波的相对速度足够小，则相同的结果，线性化方程的解决方案被认为是在局部减弱的波动波坐标系，该速度以与孤立波相同的速度移动，除了与0-EigenValue相对应的部分。今年，我们应用了结果来研究多个脉冲的相互作用，并证明当两个孤立波在3 <p <5时足够分离，并且相对速度很小，相同代码的孤立波相同，彼此驱逐并移开，而同时移开，而不同代码的孤立波则相互吸引并彼此接近。在此问题中，使用Lyapunov的方法显示了每个孤立波的稳定性。由于困难，Hayahshi-Naumkin（1998）应用了广义KDV方程的非线性散射。使用非线性散射结果的多个孤立波的稳定性的研究被称为Perelman（1997）的空间一维非线性非线性Schrodinger方程，但是在这种情况下，单独波的相互作用显而易见，这项研究是新颖的，因为它严格地逐渐钙化了每个人的速度，该速度是应变型互动的pav wav wav wav的互动。

项目成果

Tetsu Mizumachi: "Large time asymptotics of solutions around sohtary waves to the generalized Korteweg-de Vries equations"SIAM Journal on Mathematical Analysis. 32巻5号. 1050-1080 (2001)

Tetsu Mizumachi：“广义 Korteweg-de Vries 方程周围 sohtary 波解的大时间渐近”《SIAM 数学分析杂志》第 32 卷，第 5 期。1050-1080 (2001)。