非線形分散型偏微分方程式の孤立波の安定性解析

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昨年度に引き続き非線形シュレディンガー方程式iu_t+Δu+V(x)u+|u|^<p-1>u=0 for x∈R^n, t>0, (1)のgroundstateの漸近安定性を研究した。(1)のgroundstateは適当なV(x)〓0を選ぶと高次の非線形項に対しても安定となり,任意のp>1に対して定常波解が十分小さければ安定である.Soffer-Weinstein('90,'92)やBuslaev-Perelman('93,'95)や今年度中のKrieger-SchlagやKirr-Zarnescuがp【greater than or equal】1+4/nにより,重みつきの空間に属する小さな摂動に対して定常波解は漸近安定であることが知られている.Gustafson-Nakanishi-Tsai('04)は空間3次元以上の場合にStrichartzの端点評価を用いてエネルギー空間における小さな定常波解の漸近安定性を示したが、空間次元が低くなるほどシュレディンガー方程式の基本解の減衰が遅くなるためパルスとそれ以外の波が分離することを示すのが難しくなる.本研究ではエネルギー空間で成り立つ適当な解の減衰評価を導き、n=2の場合に(1)の定常波解のエネルギー空間における漸近安定性を示すことを示した.昨年度は、Jost解の方法を用いて空間次元が一次元の場合を研究したが,今年度はレゾルベント展開の方法を用いることでV≡0の場合にThomas-SteinのFourier制限定理から導かれるものより若干弱い不等式を示し,定常波解が漸近安定性を証明した.