放物型非線形問題における自己相似性と解構造

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本研究では、相似変換に関して不変な非線形偏微分方程式に対して、その特性がどのように解の振る舞いおよび解構造に反映されるかという観点から考察を行った。とくに今年度は、非線形項が臨界的指数増大度および優臨界的指数増大度ををもつ半線形熱方程式の自己相似解の解構造について重点的に考察を行った。半線形熱方程式の自己相似解は、適当なスケール普遍性から、ある特異な初期関数をもつCauchy問題の可解性と密接に関連することが知られているが、ここでは自己相似解の形状関数が、ある半線形楕円型偏微分方程式を満たすことに注目することにより、その初期値問題の解の存在について議論を行った。非線形項が臨界的指数増大度を持つ場合は、Brezis-Nirenbergの方法を適用することにより、Mountain Pass理論を適用する際に、エネルギー汎関数がある値より小さい場合に限りPalail-Smail条件が成立することが明らかになった。これにより空間時限N=3,4,5の場合には、劣臨界的な場合と同様に正値非最小解の存在を示すことができた。一方、空間時限Nが6以上の場合には、Pohozaev typeの恒等式を構成することにより適当なパラメータの範囲で正値非最小解の非存在性、すなわち自己相似解の一意性を示すことができた。また、非線形項が優臨界的増大度を持つ場合には、ODE methodを用いて球対称解に限定されたクラスの解の構造について考察を行った。とくに2階線形常微分方程式の理論を駆使することにより、shootingされた解の無限遠方での挙動について詳細な考察を行った。それにより、ある指数を境に解の挙動が大きく異なることを突き止めることができ、更にそれを足がかりとしてGalaktionov-Vazquezの予想を部分的ではあるが肯定的に示すことができた。