微分方程式の解の分岐及び安定性の理論における位相的方法の研究

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本研究の対象は一次元、もしくは多次元の放物型方程式に現れる進行波解であり、その分岐の幾何学的構造と安定性の関係について位相的な方法を用いて研究をおこなった。特に当該の系の進行波に沿った線形化の固有値問題の位相的な構造に焦点を当てている。特に本年度は、1990年にJ.Alexander, R.Gardner, C.Jonesの三者による提案に始まり本研究の研究代表者もその発展に寄与しているStability Indexの理論の高次元系への拡張に関して本質的な進展が見られた。すなわち、Stability Indexは従来空間一次元の方程式に対してのみ定義されていたのだが、これを空間2次元以上で定義された方程式に対してもある種の拡張が定義できること、及び、その際に期待される、空間一次元の方程式に対するのと同様の基本的な性質が成り立つことを示すことにほぼ成功した。一次元系と高次元系との本質的な違いは、一次元系においては扱う対象が基本的に有限次元であるのに対して、高次元系では本質的に無限次元の対象を扱わなければならないことである。従来この困難を回避するために、center manifold或いはLyapunov-Schmidt reductionといった方法で局所的に有限次元に系を制限して局所的な議論が行われていたのだが、本研究にでは、系の持つFredholm性を用いてこれまで関数とされてきたもの(Evans関数)をFredholm作用素の空間上のdeterminant bundleへの切断として捉えることにより、局所的な有限次元reductionを必要としない大域的な枠組みを設定することに成功した。これにより無限次元Grassmann多様体の位相的な性質と当該の固有値問題の直接的な関係が明らかになった。以上の結果は現在数本の論文にまとめている最中である。更に、この枠組みが適用可能と思われる具体的な例について解析が進んでいる。