簡約リー環のカスピダル・データに対するルスチック定数の計算

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1.1987年、G.Lusztigは<F_q>^^^-上定義された半単純リー環のカスピダル指標層は<Q_<l^->>^^^-偏屈層のDeligne-Fourier変換で不変であることを示した。この方法により簡約リー環の各カスピダル・データに対して1の4乗根を対応させることができる。この1の4乗根はリー型有限群の表現論において、基本的な役割を果たす。E_8,F_4,G_2型の場合は川中が、A_n型の場合はDigne-Lehrer-Michelが、SO_nとC_n型の場合はWalspurgerがそれぞれ計算をした。Letellierは博士論文の中で、この4乗根が如何にDeligne-Lusztig inductionとFourier tranformの可換性に含まれるかを示し、可換性が成立するために4乗根の間に成立しているある関係式を予想した。また標数pが十分大きい時、証明を与えた。本年度はまずこの結果を拡張し、GL_nの場合は全ての標数に対して、また半単純群Gに対しては標数が"very good"の場合には関係式が成立することを示した。2.この1の4乗根の関係式に対し、これをDynkin-Kostant型の概均質ベクトル空間の問題に帰着する式を与えた。このことにより、正則概均質ベクトル空間の理論を使うことが可能となる。1.で述べた川中(1986),Digne-Lehrer-Michel(1997),Waldspurger(2001)により得られた結果は組合せ論的方法を使っており、たとえばSpin群などに応用することは難しいと思われるが、この概均質ベクトル空間を用いる方法は,最近のDenef-Gyoja(1997),Kazhdan-Polishchuk(2000)等の結果が使えるので、新しい展開が期待される。