非可換確率論と調和解析及びその作用素環論とランダム行列理論への応用

非交换概率论、调和分析及其在算子代数理论和随机矩阵理论中的应用

基本信息

批准号：
03F00744
负责人：
泉正己
金额：
$ 0.77万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03F00744/
关键词：
非可換確率論マーチン境界自由確率論行列積分

项目摘要

マルコフ連鎖のマーチン境界の理論の非可換な場合への拡張について研究した。P.Bianeはコンパクト群の群フォンノイマン環に作用するたたみ込み積作用素のマーチンコンパクト化やマーチン境界の概念を導入し、さらにSU(2)の基本表現により与えられるたたみ込み積作用素の場合にその構造を決定した。一般のSU(n)の場合にマーチンコンパクト化を決定する問題は未解決であるが、正の調和元の端点全体が位相的には随伴表現の球面と同相であることを示した。さらにこの端点の構造を使って、たたみ込み積作用素を群フォンノノイマン環の中心に制限して得られるワイル領域上のランダムウォークの、通常の意味でのマーチン境界を完全に決定した。ランダム行列は自由確率論の解析可能なモデルを与えることから非可換確率論の重要な研究対象である。一方自由確率論に現れる自然な分布はランダム行列の固有値分布の極限として現れることが多く、ランダム行列の解析をする上でも自由確率論的考え方を用いることは有効である。また場の理論のある種のモデルの研究のため行列積分についての多くの理論物理的研究も行われているが、数学的にはこれはユニタリランダム行列の問題である。これら自由確率論と理論物理の問題に触発され、直交多項式を用いる解析的方法と不変式論に基く組み合わせ論的方法について研究し、その応用としてある種の行列積分の収束性についての証明を与えた。組み合わせ論の部分はP.Sniady (Wroclaw大学)との共同研究である。この組み合わせ論的方法は一般性を持つことが期待されており、自由エントロピーの理論や、次数の大きな対称群の表現に関するKerovの予想に対する応用の研究を現在行っている。

研究了马尔可夫链的马丁边界理论延伸到非交通案例。 P. Biane介绍了作用于紧凑型组的Von Neumann环的卷积负载操作员的Martin压实和Martin边界的概念，并进一步确定了由SU的基本表达式给出的卷积加载算子的结构（2）。尽管在一般SU（N）的情况下确定Martin压实的问题尚未解决，但已表明，正谐波起源的整个终点与同一表示的球面表面拓扑。此外，该端点结构用于完全确定通过将卷积载荷算子限制到von Nonneumann环的中心获得的Weil区域的随机步行的正常马丁边界。随机矩阵是非共同概率理论研究的重要主题，因为它们提供了可分析的自由概率理论模型。另一方面，自由概率理论中出现的自然分布通常是随机矩阵特征值分布的极限，并且在分析随机矩阵中使用自由概率理论概念有效。许多理论上的物理研究也在基质积分上进行了研究，以研究某些现场理论模型，但是从数学上讲，这是单一随机矩阵的问题。受这些自由性理论和理论物理问题的启发，我们使用基于不变理论的正交多项式和组合方法研究了分析方法，作为应用，我们提供了某些矩阵积分的收敛证明。组合理论部分是P. Sniaty（WroClaw University）的联合研究项目。这种组合方法有望具有一般性，目前正在研究Kerov对自由熵理论和大型对称组的表示的应用。