Study of operator algebras and quantum symmetries

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モジュラーテンソル圏は、共形場理論、量子群の表現論、低次元トポロジーや、作用素環の理論に登場する近年注目を集めている代数系であるが、フュージョン圏の特別な場合であり、一般のフュージョン圏の Drinfeld 中心はモジュラーテンソル圏となる。代表者はこれまでの研究で、near-group 圏と呼ばれる圏とその一般化である2次圏の分類に取り組んできた。2次圏とは、単純な対象が有限群の元以外に本質的に1つのみ存在するフュージョン圏である。このれらの2次圏は、Cuntz 環の自己準同型を構成することにより得られたが、それらの自己準同型を使って2次圏の tube 代数を計算することが可能であり、Drinfeld 中心のモジュラーデータを計算することができた。ニューサウスウェールズ大学の Pinhas Grossman 准教授とのこれまでの一連の共同研究で、このようにして得られたモジュラーデータが、対合と非退化2次形式を持つ有限可換群の組から構成されるいくつかの無限系列の一部であることが判明した。これらの無限系列を実現するモジュラーテンソル圏が実際に存在するかどうかは重要な未解決問題であり、我々はこれらの無限系列を潜在的モジュラーデータと呼んでいる。逆にある系列の潜在的モジュラデータの存在は、これまで知られていなかった2次圏の系列の存在を示唆しており、新たな2次圏に関するいくつかの予想が得られている。Grossman 氏と共同で、新たな2次圏を実現するための構造定数の方程式を導出し、位数が小さな群の場合にこの方程式を解くことにより実際に予想を確かめた。また tube 代数の計算を実行するための予備的な計算を行った。得られた方程式は相当に複雑であり、より多くの解を構成し tube 代数の構造を明らかにするには計算機を使った組織的な計算が必要であるので、その準備的な計算を行った。