非可換確率論と調和解析及びその作用素環論とランダム行列理論への応用

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ランダム行列は自由確率論の解析可能なモデルを与えることから非可換確率論の重要な研究対象である。一方自由確率論に現れる自然な分布はランダム行列の固有値分布の極限として現れることが多く、ランダム行列の解析をする上でも自由確率論的考え方を用いることは有効である。また場の理論のある種のモデルの研究のため行列積分についての多くの理論物理的研究も行われているが、数学的にはこれはユニタリランダム行列の問題である。自由独立性はvon Neumann環の自由積を解析するためにVoiculescuにより導入された概念である。von Neumann環の自由独立な二つの自己共役元の和に対しては、自由性を用いてそのスペクトルを組み合わせ論的に計算する方法が知られている。R. Speicher, J. Mingo (Qeen's大学),P. Sniady (Wroclas大学)と共同で、高次の自由性の概念を導入し研究した。その応用として、ユニタリランダム行列の固有値分布の揺らぎを組み合わせ論的に記述する一般論を確立した。また、Sniadyと共同で、次数の大きな対称群の既約表現の誘導表現に関する漸近自由性についての結果を得た。この結果は広範囲に一般化することが可能である。これらは我々が導入した新しい種類のたたみ込み積の有効性を示している。洞明人(岡山大学)とKerov多項式予想に関して議論し、組み合わせ論的により簡単な同値条件を得た。現在この条件を使って予想の証明を試みている。