極小モデル理論で得られめ多様体、特にQ-Fano多様体の研究

最小模型理论得到的流形尤其是Q-Fano流形的研究

• 批准号: 15740008
• 负责人: 高木 寛通
• 金额: $ 1.73万
• 依托单位: The University of Tokyo (2004-2005)Kyoto University (2003)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740008/
• 关键词: Q-Fano 3-fold; minimal model program; log flips; del Pezzo surfaces; mobile b-divisor; 極小モデル理論; Q-Fano多様体

補助金交付期間中に行った研究は、(1)Shokurov氏の4-fold flipの存在定理の解読、および、(2)博士論文で分類した1/2-特異点を持つQ-Fano三様体にうち、主に二種のモジュライ論的記述である。(1)については、主に平成16年度に研究を行い、Oxford大学より出版予定の本に論文が掲載される。(2)については二種のQ-Fano三様体に分けて説明する。まず、種数8で特異点を二つ持つものXについて、平成15年度に、その上の直線のパラメーター空間として種数4の曲線が、また、二次曲線のパラメーター空間として三次曲面が現れることを示した。ただし、ここで現れる種数4の曲線のモジュライ数は8で、種数4の曲線全体のモジュライ数より1小さい。この種数4の曲線の特殊性に疑問を抱いていたが、平成17年8月に、種数4の一般の曲線が直線のパラメーター空間として現れる弱Fano三様体の族を発見した。また、種数4の曲線で唯一つの射影直線への三重被覆を持つものに対応するQ-Fano三様体もあわせて発見した。これによって、今後、種数4の曲線のモジュライ空間の研究にQ-Fano三様体が役立つことが期待される。ただし、本来は種数4の曲線と三次曲面を使ってXをモジュライ論的に記述するのが目的であるが、それについては、X自身ではないものの、Xの具体的な双有理モデルなら記述できることが分かった。以上はウディネ大学のフランチェスコ・ズッコーニ氏との共同研究である。次に種数6で特異点を一つ持つもののうち有理的なものXについて調べた。この研究は、平成17年10月にアメリカのJohns Hopkins大学に一ヶ月滞在中に開始したものである。このXは、具体的な有理写像でもって、三次元非特異二次超曲面をその上の非特異で種数6の曲線Cでブローアップしたものと双有理同値である。分かったことは次のことである。XはC上の階数2の安定ベクトル束Fから回復する。ここで、Fは、付随する射影直線束P(F)がX上の5/2-曲線をパラメトライズするようなものである。さらに、XのGorenstein modelを含むような有理的4-foldをC上のベクトル束のモジュライとして実現することにほぼ成功した。

在赠款期间进行的研究是（1）解密Shokurov 4倍翻转的存在定理，以及（2）Q-Fano Tritypes具有1/2个分类性，主要是博士学位论文中的1/2个点，主要是两个Modulai Theoriestic Theorewerationalweor的描述。关于（1），研究将主要于2004年进行，该论文将在牛津大学计划出版的书中发表。 （2）将以两种类型的Q-Fano Tritypes进行解释。首先，对于具有两个具有8种奇异性的X，在2003年，我们表明，在2003年，具有物种4的曲线作为上方直线的参数空间出现，并且立方体表面作为二次曲线的参数空间出现。但是，这里出现的物种4的模量数为8，比物种4的整体曲线的模量数小1。我对此曲线的特殊性质疑，但在2005年8月，我发现了一个弱的fano triad，其中一般曲线与物种4的一般曲线显示为线性参数。我们还发现了一个Q-Fano Trivarius，该Q-Fano Trivarius对应于物种数量为4的曲线，该曲线仅具有三层涂层到一个投影线上。预计这将在未来的Q-Fano Trivarius对4曲线的模量空间进行研究中。但是，最初的目的是在模量理论中使用曲线4和立方体表面描述X，但是已经发现，这可以在X的具体双性X模型中描述，尽管不是X本身。这是Udine大学的Francesco Zucconi的联合研究项目。接下来，我们调查了X，这是一个单一奇异性的合理品种之一。这项研究始于2005年10月在美国约翰·霍普金斯大学（Johns Hopkins University）逗留一个月。该X与3D非二次二次超表面相当，其爆炸炸开，其非单词的6曲线C带有混凝土合理的映射。 What I found was the following: X recovers from the stable vector bundle F of rank 2 above C. Here, F is such that the associated projected straight line bundle P(F) parametrizes the 5/2-curve on X. Furthermore, we have almost succeeded in realizing a rational 4-fold, such as the Gorenstein model of X, as a modula of vector bundles on C.