ファノー多様体の分類

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次数5のdelPezzo3-fold B_5(Grassmann多様体G(2,5)をPlucker埋め込みでP_9に埋め込み,超平面で三回切って得られる三次元Fano多様体)上の,次数dの非特異有理曲線Cを考える(dは5以上の任意の整数).B_5上の直線のうち,Cと交わるものlと,Cとlとの交点のうちの一点を対にしたものを印付直線と呼ぶ.このとき,Cの三重被覆として得られる種数di2の標準曲線H_1によって,印付直線がパラメーター付けできることが証明できる.また,印付直線たちの交わりを考えることでH_1上にtheta characteristic μが決まる.対(H_1,μ)はDolgachev-Kanevの条件を満たすことが示せ,それによって,P_<di3>(H_1の標準埋め込みの器)内の次数4の超曲面Fが定義できる.これをScorza quarticという.このScorza quarticがいくつの同次一次式の4乗の和で書くことができるか,その最小値nはすぐに分かる(これを一般の同次式について求める問題はWaring problemという古典的な問題である).今年度の研究の主結果は,Fを同次一次式の4乗n個の和で書く書き表し方をパラメーター付けする多様体の適当な完備化-べき和多様体と呼ぶ-に関するもので次の通り:べき和多様体は,B_5をCでblow-upし,さらにB_5上のCの2-secant lineたちのstrict transformでblow-upして得られる多様体を部分多様体として含む.これは,向井茂氏によるd=5の場合の結果の拡張になっている.さらにGをN変数非退化同次2次式Gとする.Fと同じ手法が,Gを同次一次式の2乗N個の和で書く書き表し方をパラメーター付けする多様体の適当な完備化であるべき和多様体にも適用でき,次が示せる.べき和多媒体は,三次元非特異二次超曲面Q_3をその上のN次非特異有理曲線Cでblow-upして得られる多様体を部分多様体として含む.これは,向井茂氏によるN=3の場合の結果の拡張になっている.なお,本研究はUdine大学のFrancesco Zucconi氏との共同研究である.