Q-Fano 3-foldの分類

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3次元の極小モデル理論は、3次元射影多様体の双有理モデルの構成法として確立している。双有理モデルの1クラスをなすのがQ-Fano 3-foldであり、その明示的分類が望まれて久しいが、いまだ完成していない。Q-Fano 3-foldの中でも原子的役割を果たしている素Q-Fano 3-foldというクラスがある。以下、当該研究者が主に研究してきた素Q-Fano 3-foldの場合に限って話をすすめることにする。その分類の１つの視点として、特異点のクラスごと分類するという考え方がある。当該研究者はかつて、この指針に基づき、高々1/2(1,1,1)特異点しか持たない素Q-Fano 3-foldで種数が2以上のものに対して、双有理幾何学を用いた分類（Sarkisov linkによる分類）を行った。これは、非特異素Fano 3-foldのFano-Iskovskihによる分類の拡張である。本年度は、そのうちの5つのクラスについて、それに属するQ-Fano 3-foldが別の観点から分類できることを示した。別の観点の分類というのは、それらが、より大きな次元のQ-Fano多様体（これをkey varietyと呼ぶ）の線形切断として得られるということである。これは、非特異素Fano 3-foldの向井茂氏の分類の拡張である。さらに、key varietyの構成の応用として、key varietyの双対多様体というべきものを定め、それにより、Sarkisov linkによる分類に付随して得られる重要な情報の新解釈を与えた。これも非特異素Fano 3-foldについての向井茂氏の結果の拡張である。以上の結果を2本の論文にまとめ、現在、専門雑誌に投稿中である。