双曲型方程式の幾何学的対称性と非線型方程式の時間大域解の存在及び散乱問題の研究

研究双曲方程的几何对称性、非线性方程的时间全局解的存在性以及散射问题

• 批准号: 15740092
• 负责人: 肥田野 久二男
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Mie University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740092/
• 关键词: 波動方程式; 時空L^2評価式; Strichartz型評価式; Hardy-Littlewood-Sobolev; 球対称解; 球対称関数; 半線型波動方程式; Morawetz型評価式; 初期値問題; 適切性; Low-regularity solutions; 局所エネルギーの可積分性; 藤田・加藤の原理; 非線型波動方程式; 時空評価式; 準線型波動方程式; なめらかさの低い解; 解の存在時間

平成17年度は黒川友紀氏(米子工業高等専門学校)との共同研究により,球対称な初期値をもった波動方程式の解に対するStrichartz型評価式を,時間大域的な場合と局所的な場合に証明した.時間と空間両方の変数に関する解の2乗可積分性評価式と,球対称な関数に対するHardy-Littlewood-Sobolev型不等式を組み合わせる方法に証明は基づく.このためにVilela(Illiois Journal of Mathematics,45巻(2001))の議論を参考にした.時間大域的な評価を示すことにより,Sterbenzの先の結果に別証明を与えることができた.また時間局所的な評価を示すことにより,Soggeの先の結果を最終的な形にまで拡張することができた.この成果を得るために,球対称な関数に対するHardy-Littlewood-Sobolev型不等式を証明した.証明の短い方針がVilelaの上述の論文で与えられていたが,我々はそれには頼らないで証明した.空間3次元以上の場合には非常に直接的な方針で証明が出来ることがわかった.我々の方針は,球対称な関数同士のたたき込みから角度変数を除去して表現して,精密な各点評価の後に1変数のHardy-Littlewoodの不等式を応用するものである.空間2次元の場合はこの方法だけでは限界があるようであった.それは球対称な関数同士のたたみ込みから角度変数を除去した表現式に,空間3次元以上では現れない特異性が出現してしまうからである.この特異性が十分な各点評価式を得ることを阻害する.そこで双対性の議論を援用して計算することにした.双対性を通して計算してみると,不等式の証明の要点は特異関数を伴うHardy-Littlewood型極大関数のp乗可積分関数の空間における有界性に帰着できることがわかった.このような極大関数の有界性についてはLindbladとSoggeが興味深い考察を先に行っていたので,この部分に関しては彼らの補題を援用して困難を克服することができた.我々の議論には時間と空間両方の変数に関する解の2乗可積分性評価式も必要になった.特に時間局所的な2乗可積分性評価式の証明には,SmithとSoggeによる波動方程式の解の局所エネルギーの可積分性評価式が役立った.

Heisei 17th year Kurokawa Tomoki (Yoneko Industrial High School) and joint research on the solution of the initial ratio equation of the spherical equation, the case of the time domain and the case of the bureau proved. The method of combining Hardy-Littlewood-Sobolev type inequalities proves that the solution of the equation of time and space is integrable and the solution of the equation of sphere is integrable. Vilela(Illinois Journal of Mathematics,45 (2001)) The evaluation of time domain is shown in this paper, and the result of Sterbenz's advance is proved in this paper. The first result of the Sogge is the final result. The Hardy-Littlewood-Sobolev inequality is proved. The proof of Vilela's short policy is that the above papers are not related to Vilela. Space 3 dimensional above the occasion is very direct policy is proved to come out. Our policy is to eliminate the number of degrees of spherical symmetry, the number of degrees of symmetry, the number of degrees of precision, and the number of Hardy-Littlewood inequalities. Space 2-dimensional situation In addition, the number of spherical pairs is equal to the number of angles. In addition, the expression of spatial dimensions is more than 3 degrees. In addition, the specificity of spatial dimensions is also present. The specificity of this comment is very high. This is the first time I've ever seen a woman. The main points of proof of inequality are the following: the space of p integrable relations of Hardy-Littlewood type maximum relations; the boundedness of relations. The boundedness of the maximum correlation number is not easy to overcome because it is difficult to overcome the Lindblad Sogge problem. We discuss the relationship between time and space and the number of solutions and the necessity of evaluating the integrality of two equations. The proof of the integrality evaluation formula of Smith and Sogge in particular time bureau and the solution of the ratio equation are established.

项目成果

Kunio Hidano: "The global existence theorem for quasi-linear wave equations with multiple speeds"Hokkaido Mathematical Journal. (発表予定).

Kunio Hidano：“多速度拟线性波动方程的全局存在定理”北海道数学杂志（待出版）。

A remark on the almost global existence theorems of Keel, Smith and Sogge

• DOI: 10.1619/fesi.48.1
• 发表时间: 2004
• 作者: K. Hidano;K. Yokoyama

Kunio Hidano: "Conformal conservation law, time decay and scattering for nonlinear wave equations"Journal d'Analyse Mathe'matique. 91. 269-295 (2003)

Kunio Hidano：“非线性波动方程的共形守恒定律、时间衰减和散射”Journal dAnalyse Mathematique。

Kunio Hidano: "An elementary proof of global or almost global existence for quasi-linear wave equations"Tohoku Mathematical Journal. 56-2(発表予定). (2004)

Kunio Hidano：“拟线性波动方程的全局或几乎全局存在的基本证明”东北数学杂志 56-2（待出版）。