Backlund変換による、ソリトンセルオートマトンの数理構造の解明

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物理や数学に現れる多くの方程式は非線形方程式であり、ほとんどの場合、それらの方程式は厳密解を持たない。ところが可積分方程式にはソリトン解と呼ばれる厳密解がある。ソリトンは、局所的な一部分だけが盛り上がっている波であり、ソリトン解はその様な波を表す解である。可積分系では、これらのソリトンを重ね合わせる事ができ、ソリトン同士は衝突しても壊れることがない。一方、近年の研究で、セルオートマトンの中にも、ソリトンを持つ物がある事が発見され、これはソリトンセルオートマトンと呼ばれている。研究課題にある超離散KP方程式は、多くのソリトンセルオートマトンを特別な場合として含む、重要な方程式である。多くの可積分方程式が時間1次元、空間1次元の2次元的な方程式なのに対し、超離散KP方程式は3次元の方程式であり、特別な条件を付け加える事で2次元の可積分方程式を得る事が出来る。この超離散KP方程式にも、ソリトン解が存在する。超離散KP方程式は3次元の方程式なので、ソリトンは一箇所に局在している波ではなく、直線の所に局在している波である。しかしながら、ソリトンセルオートマトンには、通常の方程式にはなかった不定性が存在し、その事が原因となって、超離散KP方程式では、重ね合わせを出来るソリトンの組み合わせと、重ねあわせを出来ないソリトンの組み合わせがある。ソリトン以外の基本的な解が欲しい所である。今年度の研究では、そのような解が、超離散KP方程式にないかを研究し、次のような結果を得た。いろいろなソリトンを特別な場合として含む、曲線的な解があり、1 この解は、時間の経過と共に壊れてしまう事はなく、つながったまま運動する。2 衝突に対しても安定しており、ソリトンの衝突を紐の衝突の特別な場合として捉えられる。3 この紐自体が波であるにも係わらず、紐を伝わる波があり、それを合成する事で、いろいろなソリトンを構成出来る。