強制法とその測度論との相互作用

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本研究では、主に実数上の組合せ論とその強制法理論との関係を調べた。特に、無限組合せ論や測度論や順序に関する理論などから得られたアイディアと技法を用いて基数不変量やランダム強制法による拡大について焦点を絞って研究を行った。(1)Eventual dominance ordering on the Baire space N^N.準順序に重点を置きながら、線形性の一般化などのようないくつかの関係の性質を調べ、また、与えられた関係からある性質を満たす関係に拡大するaugmentation(または、ある性質を満たす関係に縮小するdiminishment)をそれぞれの性質に標準的に対応させた。特に、自然数NからNへの関数からなるベール空間N^N上の積順序【less than or equal】とeventual dominance準順序【less than or equal】^*を区別する性質についての研究を行い、(N^N,【less than or equal】)のaugmentationと(N,【less than or equal】^*)のdiminishmentについていくつかの結果を得た。例えば、【less than or equal】^*を【less than or equal】のある性質に対応するaugmentationとして特徴づけた。この研究に基づいて、反復強制法における保存定理の技法をさらに深く発展させることによって、s_<Cohen><min{s, add(M)}の無矛盾性を得ることができると予想している。(2)Random trees under CH.Shelahによって開発された実数を付加しない反復強制法をさらに発展させて、Todorcevicによる組合せ論的原理(*)の変形と連続体仮説CHとの無矛盾性を証明し、「CHかつ任意のランダム代数による強制拡大において全てのAronszajn木が特殊である」という主張の無矛盾性を得た。この結果は、外国人特別研究員によって既に示された「CHかつ任意のランダム代数による強制拡大においてSuslin木が存在しない」ことの無矛盾性を強めたものである。