平面代数曲線の双有理幾何

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研究代表者酒井は研究分担者Saleem氏と共同で,正種数gを持つ(d,d-2)型平面代数曲線の研究を行った.以前の論文で有理曲線の場合の分類を扱ったので,正種数の場合が課題であった.まず,局所的な特異点の分類を遂行した.この分類に,前回の研究で導入した特異点の重複度列系の概念が有効であった.例えば,特異点の中で尖点の個数は,最大で2g+3個である.さらに,双有理幾何に関する結果として,有限回の2次変換を繰り返すことによって,g=1のときには,非特異3次曲線に,g≧2のときには,標準的な超楕円曲線に変換されることを示した.このプロセスにおいて古典的な双有理変換も用いた.また,このプロセスのアルゴリズムを具体的に記述することが可能であることを用いて,与えられた特点のデータを持つ(d,d-2)型平面曲線を構成した.さらに,いくつかの特異点データに対しては,定義方程式を明示的に求める研究を進めた.以前,デグチャーレフ氏が考案した2-公式による(d,d-2)型平面代数曲線の特異点の分類との対応が付くことも判明した.これらの結果を論文「Hyperelliptic plane curves of type(d,d-2)」としてまとめ,現在,専門雑誌に投稿中である.研究代表者酒井は平面代数曲線の有理関数体に関する基礎的研究を進めた.重要な不変量であるゴナリティーについて研究した.特異点を持つ平面代数曲線のゴナリティを決定するいくつかの判定法とゴナリティと種数に関する新しい結果を得たので,論文にまとめる作業をしている.