リッチ曲率が下に有界な多様体のグロモフ-ハウスドルフ極限の位相・幾何構造の解明

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測度を持った距離空間に対して,リッチ曲率がある定数以上という概念がJohn LottとCedric Villani(共同),太田慎一,Karl-Theodor Sturmらによって定義され,注目されている.定義は最適輸送問題に由来する確率論的アイディアを用いている.研究目的はリッチ曲率が下に有界な測度距離空間の幾何構造を調べることである.リッチ曲率が一様に下に有界なリーマン多様体の列のグロモフ・ハウスドルフ極限空間は彼らの意味でリッチ曲率が下に有界である.より広く,多様体の極限として現れないようなバナッハ空間なども研究対象である.今年度は,断面曲率が下に有界なリーマン多様体の一般化であるアレキサンドロフ空間がLott達の意味でリッチ曲率が下に有界かどうかを考察した.Lott達の定義のリーマン多様体に対する同値性を示す際に使われたRobert McCannによる手法が途中まで適用できることを確認した.また,測度距離空間における測度の集中現象の研究を行った.高次元空間においては測度がある小さい集合に集中してしまうことがある.Michael Gromovにより,リッチ曲率が正定数以上のリーマン多様体において測度の集中現象が起こることが証明されている.そこで,リッチ曲率が正定数以上の測度距離空間における測度の集中現象を考察した.