リーマン多様体における弾性曲線の波動方程式

黎曼流形弹性曲线的波动方程

• 批准号: 19654008
• 负责人: 小磯 憲史
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2009
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-19654008/
• 关键词: 波動方程式; プレート方程式; 弾性曲線

研究の最終的な目標は,CaflishとMaddocksによる平面上の1次元弾性体の運動方程式の解の存在定理を一般のRiemann多様体Mに拡張することにある.最終年度である今年度は,昨年度までに得られた結果をもとに,一般の左不変なRiemann計量を持つLie群における問題を完全に解決できた.即ち,次の定理が証明できた.定理:左不変なRiemam計量を与えたLie群(G,g)において,Caflish-Maddocks型の1次元弾性体の運動方程式は任意の初期値に対して無限時間の解を持つ.この系として,次の定理が得られた.定理:Riemann対称空間において,Caflish-Maddocks型の1次元弾性体の運動方程式は任意の初期値に対して無限時間の解を持つ.完全に一般のRiemann多様体における存在定理までにはいたらなかつたが,具体的Riemann多様体の代表である対称空間における存在定理を得たことで,本研究はその目的を達したといえる.昨年度までに両側不変な計量に関しては存在定理を得ていた.片側不変計量の場合は,(1)閉測地線の条件が定数条件ではなくなること,(2)常微分方程式の先験的既知関数に関する微分が高くなること,という問題が生じる.(1)は新しく「閉測地線からのズレ」をあらわす幾何学的な量を導入することでその困難を解決した.(2)は,その障害となる項を線型な項に繰り込む形に方程式の変形をすることでその困難を解決した.

The final purpose of this study is to investigate the existence theorem of solutions to equations of motion for 1-dimensional multi-dimensional bodies in the plane, and the existence theorem of solutions to equations of motion for general Riemann multi-dimensional bodies. Last year, last year. That is, the proof of the theorem is. Theorem: The equation of motion of a one-dimensional nonlinear body of Caflish-Maddocks type maintains its solution to infinite time at arbitrary initial values. This is the first time that the theorem has been established. Theorem: In Riemann symmetric spaces, equations of motion of Caflish-Maddocks type of 1-dimensional solids hold solutions for infinite time at arbitrary initial values. The existence theorem of Riemann polyhedron in general is completely obtained, and the existence theorem of Riemann polyhedron in symmetry space is obtained. The existence theorem is derived from the existence theorem. When there is no measurement on the side of the sheet,(1) the condition of closed geodetic line is fixed,(2) the differential of ordinary differential equation is high, and the problem arises. (1)A new approach to geometry (2)To solve the problem, the equation is linear.