リーマン多様体上の最適化理論の展開とその大規模問題への応用

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令和4年度は，リーマン多様体上の最適化問題に対するアプローチとして，特に共役勾配法に関する2編の論文を発表した．一つは，リーマン多様体上の共役勾配法の一般的な枠組みについての研究である．この研究では，これまで様々に研究されてきたユークリッド空間やリーマン多様体上の共役勾配法を統一するような一般的な枠組みを与え，適切かつ自然な仮定の下で提案アルゴリズムの大域的収束性を詳細に解析した．また，数値実験においては，2つのグラスマン多様体の直積により構成される500万次元を超える多様体上の最適化問題や，リヤプノフ方程式の解法として一定サイズの正定値対称行列全体からなる多様体上の最適化問題を扱い，大規模問題に対する提案手法の有効性の実証も行った．もう一つの研究では，ユークリッド空間上の共役勾配法の中でも注目を集めている Hager-Zhang (HZ) 型の共役勾配法について，そのリーマン多様体への拡張を詳しく議論した．先述の共役勾配法の一般的な枠組みについての研究では，多様体上の点列の更新の際にレトラクションと呼ばれる写像を用い，探索方向の計算の際にはある接空間から別の接空間への一般的な写像を用いた．一方，この研究ではそれらの特別な場合として，点列の更新では指数写像を用い，探索方向の計算ではその微分を用いる手法を提案した．また，リーマン幾何学におけるガウスの補題を効果的に用いることで提案手法の大域的収束性を証明した．さらに，レイリー商最小化問題や無向グラフの安定数を求める問題を超球面上の最適化問題と捉え，数値実験によりこれらの問題を解くことで，提案手法が既存手法より優れた性能を発揮することを実証した．これら2つの研究はいずれも，リーマン多様体上の大規模な最適化問題の求解に大きく貢献するものである．