Painleve方程式とLie代数の表現

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ドリンフェルト・ソコロフ階層は任意のアフィン・リー代数とそのハイゼンベルグ部分代数によって構成することができるソリトン方程式の時間発展である。本年度の研究はドリンフェルト・ソコロフ階層におけるアフィン・リー代数とそのハイゼンベルグ部分代数との関係を調べることであった。A_n型のアフィン・リー代数に対するハイゼンベルグ部分代数はn+1=n_1+n_2+…+n_kというn+1の分割を用いて具体的に記述することができる。従ってA_n型のアフィン・リー代数によるドリンフェルト・ソコロフ階層はn+1の分割を用いて分類、構成ができる。ドリンフェルト・ソコロフ階層を相似簡約するとパンルヴェ型微分方程式が得られる。この相似簡約をA_n型のドリンフェルト・ソコロフ階層に施すことを考える。分割(n+1)のときはいわゆる野海・山田系と呼ばれているパンルヴェ型の微分方程式が得られることが知られている。本年度の研究で分割(n,1)におけるA_n型のドリンフェルト・ソコロフ階層の相似簡約を計算した。その結果、得られたパンルヴェ型の微分方程式は分割(n+2)のときに得られる野海・山田系と完全に一致していることがわかった。それ以外にも分割(n,n)、分割(n,n,1)のときには結合型パンルヴェ第6方程式のハミルトニアンが得られることが分かった。分割(2,2)のときはパンルヴェ第6方程式のラックス形式が得られ、分割(4)のときはパンルヴェ第5方程式のラックス形式が得られていた。パンルヴェ第6方程式からパンルヴェ第5方程式への退化が存在しているがこれをラックス形式上の退化操作へと持ち上げることができた。ラックス形式上の退化操作から分割(1,…,1)から分割(n+1)への退化図式が予想できる。