Ricci曲率が下に有界な多様体族の極限空間の研究

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Ricci曲率が下に有界な多様体の極限空間の研究を行った.具体的には,そのような極限空間が,そのハウスドルフ次元が2より真に小さいときに,その空間の完全な分類を行った.その応用として,極限空間のハウスドルフ次元が2より小さいとき,その次元の整数性を示した.また,極限空間のハウスドルフ次元が3未満のときは,そのcut locusの補集合の次元が2以下であることを示した.これは極限空間のハウスドルフ次元が3以下のとき,その次元は整数であろうと支持する結果である.また,極限空間における,cut locusの測度はOであることも示した.そして,Cheeger-Coldingによって導入された,極限空間における余次元1の測度の性質を調べた.具体的には,その測度に関する,Bishop-Gromov型不等式や,距離関数に関する余積公式などを示した.これらはリーマン多様体で成立する結果の極限空間へのアナロジーである.その応用として,一次元正則集合が空でない極限空間において,与えられた極限空間の点の局所ハウスドルフ次元が1であるための必要十分条件は,その点の周りで,断面曲率が下に有界であることである,という主張を示すことができた.この主張は,1次元正則集合が空でない極限空間であって,その全体の次元が1でないものの構成は大変困難であることを示しており,これは極限空間の次元は一様であろうということを示唆する一結果であると考えられる.本年度の研究によって,多様体の収束に関わる分野のいくつかの未解決問題,そしてその部分的解決を与えることができたが,以上の研究結果は,今後の多様体の崩壊の研究において,大変重要な結果であると考えられる