リッチ曲率に関する空間の収束・崩壊とスペクトル収束の新展開

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前年度に引き続きRCD空間の研究を行った．まずRCD空間から滑らかなリーマン多様体への写像の正則性を定義し，それに基づいて新しいエネルギーを定め，それに関するコンパクト性定理をえた．またそのエネルギーと既存のエネルギーの概念，例えばKorevaar-Schoenのエネルギーなどとの同値性を示した．それらの証明の鍵となるのは，rectifiabilityを固有関数族で実現することであり，その実現に以前の研究である，RCD空間の熱核の振る舞いを用いた．それらの結果の応用として，部分多様体論で古典的に知られていた高橋の定理を滑らかでない空間に対して完全に一般化できた．これは昨年度までの研究で残っていた部分が達成されたことを意味する．以上はジョンズホプキンス大学のYannick Sire氏との共同研究で，一本の論文にまとめて雑誌に投稿した．また，ピサ高等師範学校のCamillo Brena氏，シッサのNicola Gigli氏，ジョージア工科大学のXingyu Zhu氏とともに非崩壊RCD空間の特徴付けに関するDePhilippis-Gigliの予想を完全に解決し，その応用を与えた．それらは一本の論文にまとめ，雑誌に投稿し，アクセプトされた．また，東北大学のYuanlin Peng氏と共同で，Cheeger-Coldingによる位相的安定性定理の改良化を行った．これは同相写像のリプシッツ性も証明するもので，既存の手法では届かなかった結果である．そのための鍵は写像の適切な変換と，ほぼ線形増大度をもつ調和関数に関するリュービル型の定理であった．それらの結果はシャープであることも例を与えて示した．この結果は一本の論文にまとめ，雑誌に投稿し，アクセプトされた．