L関数の特殊値とK群の位数の(非)可除性に関する研究

点击翻译按钮获取中文摘要

Motifから来るような良いp進Galois表現の互換系に対してL関数が定義される.これらの特殊値を、Galois表現の算術的な不変量であるcohomology群やK群の位数で記述する予想が各種知られており、或る場合には証明されている.本年度は、CM体のL関数の負の整数点での特殊値をcohomology群の位数で記述する、Kolsterの高次相対類数公式に基づいて、虚二次体の高次相対類数(Dirichlet L関数の負の整数点での特殊値)の非可除性を研究した.これは、研究実施計画に沿うものである.結果として、素数pと奇数nを固定し、虚二次体を判別式の絶対値の大きさで動かしたとき、そのn次の高次相対類数(Dirichlet L関数の1-nでの値の分子)がpで割り切れないものが、一定の個数以上存在することを示した.手法としては、L関数の特殊値と密接に関係する量を係数に持つ半整数重みの保型形式の存在と、保型形式の合同に関する或る結果を用いる.この結果については、論文を準備中である.研究計画で述べた、実二次体のtame kerne1や、より一般の偶数次K群の位数の可除性に関する研究では、新規の結果を得ることは出来なかった.今後の課題である.一方、実二次体や、より高次の総実代数体の族のtame kernelの2部分について、イデアル類群の2部分に関するgoverning fieldに類似の現象が起きている可能性を探った.