弦理論に基づく結び目不変量の解析

基于弦理论的结不变量分析

• 批准号: 25800137
• 负责人: 藤 博之
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013-04-01 至 2017-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-25800137/
• 关键词: 弦理論; 圏化; 位相的場の理論; 結び目不変量

本研究課題は，弦理論を用いて結び目不変量をはじめとした，様々な幾何学的不変量を解析することを目指している．本研究の中核をなす課題の一つとして，結び目の量子不変量に対する圏化を，物理的手法，特に超弦理論を用いてアプローチし，数学的に得られた研究成果の物理的解釈を与えると同時に，新たな不変量の構築や他の幾何学的不変量との関係を探ることが目標である．弦理論の研究では，D-ブレーンや様々な双対性の発見により，その物理量と幾何学的不変量との関係がより親密となっている．その中でも，3次元多様体とその中に配置された絡み目に対する量子不変量は，弦理論の分配関数に対応するという予想が確立し，この対応を基に近年は弦理論を用いて，量子不変量の背後に内在する構造の研究が進められている．こうした構造の中でも，近年の研究で急速に明らかになってきたのは「圏化」と呼ばれる概念である．圏化の結び目不変量への応用は，10年程前にM.Khovanov氏によって提唱され，Jones多項式をはじめとした結び目の量子不変量の背後にある高次の圏構造が明らかとなった．その後，圏化の研究はトポロジーや代数の分野では研究が進められ，数多くの進展がもたらされてきた．一方，この圏化を弦理論からどのような形で理解し，実現できるのかという問題は，様々な弦理論の進展と共に徐々に明らかとなり，この2年間でその正体が「BPS状態」によって記述できる事が判明し，顕著な進展を遂げている．これまでの研究では，弦理論によって「色付きHOMFLYホモロジー」と呼ばれる，数々の量子不変量の圏化を統一的に取り扱うホモロジーが提唱され，このホモロジーの研究を推進してきた．本研究課題では，この研究をさらに推進し，弦理論の双対性を通じて，結び目不変量の圏化の新たな場の理論の枠組みによる実現を探ると同時に，「圏化」の概念を物理へ応用する問題にも取り組んだ．

该研究主题旨在使用字符串理论分析包括结的各种几何不变式。这项研究中的核心问题之一是使用物理方法，尤其是超弦理论来接近结量子不变性的球，以提供数学结果的物理解释，同时还探索了新不变性的构建以及与其他几何不变的关系。在弦理论研究中，D-Branes和各种二重性的发现使物理数量和几何不变性之间的关系更加亲密。其中，已经确定，在其中排列的三维流形和互锁的量子不变性对应于字符串理论的分区函数，并且基于这种对应关系，近年来，使用字符串理论进行了对量子不变性固有的结构的研究。在这些结构中，在最近的研究中迅速清楚的是一个称为“圆周化”的概念。大约十年前，霍瓦诺夫（M. Khovanov）提出了球体化对结中的应用，这揭示了结量量子不变的高阶结构，包括琼斯多项式。从那时起，在拓扑和代数的领域进行了对球体化的研究，并实现了许多进步。另一方面，如何从弦理论中理解和实现该领域的问题逐渐清楚地随着各种弦理论的进步变得清晰起来，并且在过去两年中，它已经揭示了其真实身份可以由“ BPS状态”描述，从而取得了重大进展。先前的研究提出了一种称为“有色霍姆蝇同源性”的同源性，一种“彩色霍姆蝇同源性”，涉及许多量子不变的球体，并促进了对该同源性的研究。该研究主题进一步促进了这项研究，并通过弦理论的双重性来探讨新领域理论的实现，这是通过结的框架，同时还解决了将球的概念应用于物理学的问题。

项目成果

Colored HOMFLY homology and super-A-polynomial

有色 HOMFLY 同源性和超 A 多项式

• 发表时间: 2013
• 作者: Katsuhisa Furukawa;Katsuhisa Furukawa;Katsuhisa Furukawa;Katsuhisa Furukawa;Katsuhisa Furukawa;K. Miyamoto;K. Miyamoto;宮本幸治;宮本幸治;宮本幸治;宮本幸治;Koji Miyamoto;Koji Miyamoto;Koji Miyamoto;藤 博之
• 通讯作者: 藤 博之

The volume conjecture and super-A-polynomial

体积猜想和超多项式

• 发表时间: 2013
• 作者: K. Miyamoto;A. Kimura;T. Okuda;H. Miyahara;K. Kuroda;H. Namatame;M. Taniguchi;S. V. Eremeev;T. V. Menshchikova;E. V. Chulkov;K. A. Kokh and O. E. Tereshchenko;藤 博之
• 通讯作者: 藤 博之