行列模型に基づく超対称ゲージ理論の非摂動的解析

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本年度の研究では、主に位相的弦理論と3次元双曲幾何の関係を探る研究を行なった。弦理論の間に存在する双対性の研究の進展により、近年、位相的弦理論の様々な物理量が厳密に計算できるようになってきた。その結果、位相的弦理論の可積分構造が明らかとなり、それらを基に弦理論の様々な側面を研究できるフェーズに入ってきたと言える。一方、結び目理論の発展において、体積予想と呼ばれる興味深い予想がKashaev提唱され、2003年には物理的考察に基づく一般化がGukovによって提唱された。体積予想の主張は、3次元球面内の結び目に対する補空間の体積をはじめとする位相不変量が、その結び目のJones多項式の漸近値から得られるというものである。さらに近年、Garoufalidisらによって、結び目群から得られるA-多項式の非可換化によって得られる差分方程式に、Jones多項式が従うというAJ予想も提唱されている。こうした、位相的弦理論とJones多項式の漸近解析の問には、非常に興味深い対応が見出す事ができる。特に、位相的弦理論にD-ブレインを導入する事で計算される位相的開弦理論の自由エネルギーは、3次元双曲多様体の体積に関するNeumann-Zagier公式に対応する事が見出される。さらに、位相的開弦理論の分配関数に対するLax方程式は、Jones多項式に対するAJ予想の差分方程式に対応する事も分かる。これらの状況証拠から、本研究では位相的開弦理論の分配関数とJones多項式の等価性を予想した。この予想に基づいて、位相的開弦理論の自由エネルギーの漸近展開に関するsubleading項を行列模型に基づいて計算した所、双曲多様体のReidemeister torsionが得られ、Jones多項式の漸近展開のsubleading項と合致する事が発見された。今後の研究では、最近Hikami-Murakamiによって発見されたJones多項式の新たな漸近解析と、位相的弦理論の関係を本研究の対応に基づいて研究し、位相的弦理論や結び目理論の新たな側面を探りたいと考えている。