対称的写像類群

研究計画において述べた昨年度の研究内容である(a)球面上の分岐被覆の対称的写像類群における〓をコバウンドする関数,(d)各被覆の対称的写像類群,それに関係する写像類群の指数有限部分群ImP,および一般の指数有限部分群の整係数一次元ホモロジー群,に関係して得られた結果について,前者はプレプリント"A local signature for fibrations with a finite group action"としてarxiv:0912.1952にまとめた.また,後者は"The abelianization of the level d mapping class group"としてJournal of Topologyに採録決定した.前者の論文では,以前に古田幹雄氏により微分幾何的に示された符号数の局所化を位相幾何的に示している.また,一般に計算が困難である局所符号数を,群が作用している場合にその固定点の情報を用いて,計算可能な明示的な式で与えており,その意味で新しい結果である.研究計画に述べたように,この局所符号数はエータ不変量などの3次元多様体の不変量と深く関係しているが,未だ明らかになっていない.後者の結果について,level d写像類群のアーベル化を決定した.これはBenson Farbにより挙げられた写像類群の未解決問題の1つへの解答を与えている.この群のアーベル化の決定は,Torelli群を包含するすべての指数有限正規部分群のアーベル化に大きな情報をもたらすものであり,重要な結果であると言える.また,これはRiemann面のモジュライ空間の有限被覆空間の一次元ホモロジー群とも一致しており,代数幾何的の観点からも重要である.

研究計画において述べた昨年度の研究内容である(a)球面上の分岐被覆の対称的写像類群における〓をコバウンドする関数,(d)各被覆の対称的写像類群,それに関係する写像類群の指数有限部分群ImP,および一般の指数有限部分群の整係数一次元ホモロジー群,に関係して得られた結果について,前者はプレプリント"A local signature for fibrations with a finite group action"としてarxiv:0912.1952にまとめた.また,後者は"The abelianization of the level d mapping class group"としてJournal of Topologyに採録決定した.前者の論文では,以前に古田幹雄氏により微分幾何的に示された符号数の局所化を位相幾何的に示している.また,一般に計算が困難である局所符号数を,群が作用している場合にその固定点の情報を用いて,計算可能な明示的な式で与えており,その意味で新しい結果である.研究計画に述べたように,この局所符号数はエータ不変量などの3次元多様体の不変量と深く関係しているが,未だ明らかになっていない.後者の結果について,level d写像類群のアーベル化を決定した.これはBenson Farbにより挙げられた写像類群の未解決問題の1つへの解答を与えている.この群のアーベル化の決定は,Torelli群を包含するすべての指数有限正規部分群のアーベル化に大きな情報をもたらすものであり,重要な結果であると言える.また,これはRiemann面のモジュライ空間の有限被覆空間の一次元ホモロジー群とも一致しており,代数幾何的の観点からも重要である.