Null-dimensionale Schemata und Familien ebener Kurven

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Das Studium null-dimensionaler Schemata einerseits und ebener Kurven, die letztere enthalten, andererseits, ist eine klassische Aufgabe der algebraischen Geometrie. Als Beispiel kann das allgemeine Dimensionsproblem dienen: wie groß ist die Dimension der Familie aller ebenen Kurven vom Grad d, die bei pi mindestens die Multiplizität mi, i = 1,..., r, haben. Die Entwicklung moderner Methoden der algebraischen Geometrie (Deformationstheorie, Kohomologietheorie) erlaubt die Anwendung der Theorie null-dimensionaler Schemata, um weitaus allgemeinere Aussagen hinsichtlich der Geometrie von Familien ebener Kurven (z.B. mit vorgegebenen Singularitäten) zu erhalten. Letzteres führte zu einer Vielzahl von Publikationen in den letzten 20 Jahren. Ein hintergründiges Ziel des beantragten Projektes ist es, die bekannten numerischen Bedingungen für die Existenz, Glattheit, bzw. Irreduzibilität von Familien ebener Kurven, zu verbessern. Zusätzlich wird beabsichtigt, spezielle Familien zu konstruieren, die nicht-glatt, bzw. reduzibel sind, mit dem Ziel die Güte der numerischen Bedingungen zu evaluieren. Unter anderem soll in diesem Rahmen eine Monographie über singuläre algebraische Kurven fertiggestellt werden (mit G.-M. Greuel and E. Shustin).