Computeralgebramethoden in der algebraischen Geometrie

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Algebraische Geometer studieren die Struktur von Lösungsmengen polynomialer Gleichungen (Kurven, Flächen, höherdimensionale Gebilde) mit Hilfe algebraischer Methoden. Algorithmen der Computeralgebra erlauben exaktes Rechnen in algebraischen Strukturen wie Polynomringen und damit insbesondere das intensive Studium von Beispielen in der algebraischen Geometrie mit Hilfe des Rechners (Buchbergeralgorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen und Syzygien, Algorithmen zur Polynomfaktorisierung und Primärzerlegung). Typische Anwendungen sind die Erkenntnis mathematischer Zusammenhänge (und oft auch entsprechender Beweisideen), die Konstruktion "interessanter" geometrischer Objekte (die etwa Gegenbeispiele zu Vermutungen liefern), oder die Wiederbelebung klassischer Probleme, die einen hohen Rechenaufwand erfordern (etwa in der Invariantentheorie). Das Ziel des Projekts ist zweifach. Einerseits geht es um die Verfeinerung (Syzygienberechnung, Polynomfaktorisierung in absolut irreduzible Faktoren, äussere Algebra Methoden) oder Neuentwicklung (absolute Primärzerlegung mit symbolischen und symbolisch-numerischen Ansätzen) grundlegender Algorithmen sowie deren Implementierung in den für die algebraische Geometrie relevanten Computeralgebrasystemen SINGULAR und MACAULAY2. Andererseits sollen Computeralgebramethoden benutzt werden, um die Klassifikation der Lösungsmengen kleiner Codimension (insbesondere Flächen und Calabi-Yau Dreifaltigkeiten) voranzutreiben.