Stochastische Prozesse in zufälligen Medien

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In der Fortsetzung dieses Projektes soll schwerpunktmäßig an folgenden Fragestellungen gearbeitet werden:Untersuchung der stochastischen Konvergenz der aus Monte Carlo Verfahren abgeleiteten (zeitinhomogenen) Markovprozesse auf großen Zustandsräumen gegen eine stationäre Verteilung, die auf der Menge der 'optimalen' Zustände konzentriert ist, insbesondere für Modelle der Evolution von Populationen.Hierzu sind Abschätzungen der korrekten Größenordnung der Spektrallücke und für die Evolution von Populationen auch Abschätzungen höherer Spektralwerte von Markovketten auf großen Zustandsräumen als Funktion der Geometrie der Übergangsgraphen wesentlich. Ferner sollen für diese Modelle spezifische Kopplungsmethoden auch im Zusammenhang mit exakten Sampling Verfahren für die stationäre Verteilung entwickelt werden.Isoperimetrische und Sobolev-Untersuchungen sollen als wesentliches Hilfsmittel im kontinuierlichen, diskreten unabhängigen bzw. Markov Fall und insbesondere auch für Markovsche Zufallsfelder untersucht werden. Betrachtet werden auch Fragen der Clusterbildung und großen Abweichungen der Werte der Felder mit Hilfe spezifischer Kopplung.Im Rahmen des sogenannten Hopfield Modells [Ho82] soll die Dynamik und Thermodynamik von speziellen stochastischen Feldern, deren stationäres Gibbsmaß durch 'holographische' Speicherung von Feld-Mustern in einer Koeffizientenmatrix gegeben ist, untersucht werden. Diese Muster sind einem weiteren unabhängigen bzw. korrelierten Markov-Feld entnommen. Das Ziel der stochastischen Dynamik ist die assoziative Rekonstruktion einer maximalen Anzahl von gespeicherten Mustern.