ディオファンタス近似、特に線型回帰数列の小数部分について

丢番图近似，尤其是线性回归序列的小数部分

• 批准号: 09J01325
• 负责人: 金子 元
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J01325/
• 关键词: 代数的数; 正規数; 一様分布論; 小数部分; 等比数列; 極限点; 数系; Mahler関数; 有理近似; 超越数; 代数的独立

本年度は、実数のb進展開に現れるdigitを解析した。特に、代数的無理数のb進展開において、digitが均等に現れるというBorelの予想の解決に向けた研究を行った。代数的無理数のb進展開におけるdigitを調べることで、代数的無理数の数論的性質を解析することにより、整数論への応用が期待される。Borelの予想の具体例として√2など、代数的無理数の2進展開では、digitである0と1が同じ割合で現れると数値実験から予想されている。しかし、実際にdigitの均等性が証明されている代数的無理数は存在せず、この予想は解決には程遠い。そこで、Bugeaudは予想の解決に向けて、b進展開におけるdigit変化数を研究することを提案した。なぜならばdigit変化数が多いことを証明できれば、digitの均等性の証拠になるからである。BugeaudとEvertseは有理近似の方法を用いてdigit変化数の下からの評価式を構成した。ところが、彼らの結果は、数値実験で予想される値よりも弱いものである。そのため、彼らの結果を改良することを目指した。昨年度は、2進展開の場合においてのみ、彼らの結果を改良することに成功した。今年度は全てのb進展開に対して、代数的無理数のdigit変化数の先行結果を改良することができた。また、本年度は等比数列の小数部分の大きさを解析した。特に、小数部分の極限点に着目して研究を行った。極限点の最大値と最小値の大きさを決定すれば、小数部分が漸近的にどのような大きさを取るかについて知ることができるからである。等比数列の小数部分の大きさを調べることも、公比の数論的性質の研究につながる。本研究では公比が具体的に与えられたときに、極限点の最大値と最小値がどのような値であるかについて、Mahler関数の特殊値を用いて記述することに成功した。

This year, に and the real number <s:1> b has progressed to に. Now, れるdigitを is analyzed to た た. に, irrational Numbers の b progress of algebra, open に お い て, digit equal が に now れ る と い う Borel の to think に の solution to け た を line っ た. Algebra of irrational の b progress に お け る digit を adjustable べ る こ と で properties of irrational Numbers の number theory, algebra を parsing す る こ と に よ り, integer theory へ の 応 with が expect さ れ る. Concrete example と Borel の to think の し て) 2 な ど, irrational Numbers の 2 progress of algebra で は, digit で あ る 0 と 1 が で association with じ cut now れ る と the numerical be 験 か ら to think さ れ て い る. The <s:1> に に, the equality of the imaginary にdigit <s:1> が proves that the irrational numbers of the されて る る algebra <e:1> exist せず, and the <s:1> <s:1> wants to <s:1> solve the に に cheng yuan <e:1>. そ こ で, Bugeaud は to think に の solution to け て, b progress に お け る digit - research す several を る こ と を proposal し た. Youdaoplaceholder0 number of digit changes が multiple なぜならば とを とを proof で れば れば, digit <s:1> equality <e:1> certificate 拠になる らである. The BugeaudとEvertse <s:1> rational approximation <s:1> method を uses the <s:1> てdigit variable number <s:1> under the ら ら <s:1> evaluation 価 formula を to form the を た. Youdaoplaceholder0 よ ろが ろが, that ら <s:1> result, numerical experiment で gives される value よ <s:1> <s:1> ろが である である である. Youdaoplaceholder0 そ ため, and the ら ため result を improves する とを とを とを finger た. Last year, during the にお and 2 progress opening <s:1> occasions, there were にお て て み み み, and the ら <s:1> results showed that the を improvement する とに とに was successful and た. This year, <s:1> all て <s:1> b has made progress in に against て and the leading results of <s:1> digit changes of irrational numbers in algebra を to improve する とがで とがで た た た. Youdaoplaceholder0, the <s:1> decimal part of the また geometric sequence in this year is <s:1> greater than さを さを analysis of さを た. The special に, the decimal part <s:1>, the limit point に, and the main focus are on the <s:1> て study the を line った. Limit point の numerical と minimum numerical の largest き さ を decided す れ ば, fractional part が asymptotic に ど の よ う な big き さ を take る か に つ い て know る こ と が で き る か ら で あ る. The <s:1> decimal part <e:1> of a geometric sequence is large <s:1> さを さを key べる と と と と さを, research on the properties of common ratio <s:1> number theory <e:1> に に ながる ながる ながる. This study で は common ratio が specific に and え ら れ た と き に, limit point の maximum numerical と minimum numerical が ど の よ う な numerical で あ る か に つ い て, Mahler masato several special numerical を の with い て account す る こ と に successful し た.

项目成果

On the binary expansions of algebraic numbers

关于代数数的二元展开式

• 发表时间: 2009
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the binary digits of algebraic numbers

关于代数数的二进制数字

• 发表时间: 2010
• 期刊: J.Aust.Math.Soc.
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元
• 通讯作者: 金子元

Algebraic indep- endence of the values of power series

幂级数值的代数独立性

• 发表时间: 2005
• 期刊: Lambert series, and infinite products generated by linear recurrences, Osaka J. Math 42
• 作者: Satoshi Fujii;Y. Ohgi;M. Ozaki;Taka-aki Tanaka;Masato Kurihara;Yoshitaka Hachimori and Romyar Sharifi;Taka-aki Tanaka
• 通讯作者: Taka-aki Tanaka

On the digits of the expansions of algebraic numbers in integral basis

论整数基上代数数展开式的位数

• 发表时间: 2010
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the complexity of the binary expansions of algebraic irrational numbers

论代数无理数二元展开式的复杂性

• 发表时间: 2010
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元