解析数論、特に有理近似

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本研究の目標は、代数的数の近似に関する性質を研究する事である。昨年度までの研究では、Pisot数やSalem数という特殊な代数的整数の近似に関する性質を、ベータ展開という数系を通じて調べた。本年度の研究では、Pisot数やSalem数とは限らない代数的整数について、近似の性質を考察した。数の近似の性質を調べるために、等比数列の小数部分が用いられる。小数部分とは、数と近似整数の誤差であるため、これを調べる事は重要である。例えば、Pisot数の近似に関する性質が、Pisot数を公比にもつ等比数列の小数部分に反映される。等比数列の小数部分が、一様分布するための条件を求めることは重要な未解決問題である。例えば、公比が2以上の整数bである場合を考える。この場合、等比数列の小数部分が一様分布するための必要十分条件は、初項がb進展開において正規数となることである。正規数であるための条件を求めることは、暗号理論などにも応用があるため、重要である。本研究では、公比が必ずしも整数ではない等比数列の小数部分がいつ一様分布をするかについて考察した。これは、正規数に関する問題の一般化ともいえる。本年度は、組み合わせ論を用いた手法により、小数部分を解析し、一様分布性に関する部分的な結果を得ることができた。本研究で得られた結果を現在謙文にまとめ、投稿予定である。また昨年度は、Pisot数やSalem数の近似に関して得られた性質を、超越数論へ応用した。ベキ級数にPisot数やSalem数を代入した値について、超越性の判定法を構成した。本年度は、研究を発展させることにより、これらの値について、代数的独立性の判定法を構成した。与えられた超越数の代数的独立性を示す事は重要である。代数的独立性に関する研究成果についても、現在論文にまとめ、投稿予定である。