カンドルと分岐被覆を用いた曲面結び目,低次元多様体の位相不変量

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本研究では,曲面結び目,3次元多様体と4次元PL多様体を主な対象として位相不変量を構成する研究を行い,対象を位相的性質によって分類するという問題に取り組んだ.位相不変量とは,幾何学的な対象に代数的な値を与える写像でのことであり,対象の集合に分類を与えるための一つの道具である.不変量の構成の仕方を工夫することで,対象の位相的性質をうまく導きだしたり,効率的な計算によって値を求めたりすることができる.本研究においては,不変量を構成するためにカンドルという代数構造と,分岐被覆という幾何学の道具を用いることをテーマとした.低次元トポロジーにおいては,カンドルを用いて結び目や曲面結び目の位相不変量を組み合わせ的に計算可能な方法で構成する研究が10年程前から盛んに行われている.また3次元多様体の研究においては,表示方法を用いると扱いやすくすることができる.本研究では3次元多様体の分岐被覆表示を用いて1次元の結び目と対応させて扱いやすくし,カンドルを用いて組み合わせ的な方法で位相不変量を構成する研究を行った.その結果,カンドルと分岐被覆を用いて3次元多様体のDijkgraaf-Witten不変量を拡張するような不変量の構成を構成する成果を得た.研究の過程では野坂武史氏(京都大学数理解析研究所)と研究の目的が一致することから互いの研究成果を報告し合い,問題の解決に向けて議論する等の打ち合わせを行った.