逆数学のニュー・フロンティア

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本研究は,現代数学基礎論における研究プログラム『逆数学』を,他のプログラムと比較し,また融合させながら,広域的に発展させることを目的としている.逆数学は,数学の主要な定理がどのような論理的原理から導かれるかを調べるもので,近年著しく発展している.他方,無限小や無限大を要素として含む非標準的世界を構築し,標準世界との間の移行原理を示すことで,超越的な議論を素朴な議論に置き換える「超準的手法」が以前から知られており,田中(1997)は,移行原理を弱めることで非標準モデルを極めて弱い体系内でも構成できること(自己埋め込み定理)を証明した.本研究では,より強い移行原理を成り立たせる超準的手法を考案するとともに,ある定理群に対する超準的手法に必要な移行原理が何かを調べる.Sandersは,ベルギーのヘント大学での指導教員であるChris Impens教授との共同研究で,超準解析を展開するための形式体系ERNAとその上での移行原理の強さについて研究していた.本年度の具体的な成果として,サンダースはAPAL誌の論文において,初等再帰的超準解析ERNAの多層版を提案し,さらにその厳密な形式化について検討を続けている.また,MLQの論文においては,「xはyに対して(non-)standard」であるという述語を導入して考察し,還元定理と移行原理との同値性を示した.移行原理は,逆数学における弱ケーニヒの補題WKLと類似の同値性を示すことが確認されており,今後さらに詳しい研究が共同で進められる.