二次体の類数の可除性に関する研究

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整数論のうち、二次体の類数の非可除性や岩澤不変量について研究を行った。本研究では、岩澤λ不変量が1となる虚二次体、0となる実二次体の無限族の具体的な構成や分布の考察を主な課題としている。岩澤不変量は多くの研究者によって研究されているが、その中での本研究の位置づけは、すでに代数的に証明されている結果の仮定を満たすものの個数評価と分布の考察・具体例の構成に該当する。具体的には、(1)「扱う二次体の基本判別式に勝手な合同条件を課した場合に、岩澤λ不変量が1となる虚二次体、0となる実二次体はそれぞれ無限に存在するか?」,(2)「岩澤λ不変量が1となる虚二次体、0となる実二次体の無限族をそれぞれ具体的に構成することはできるか?」という問題に取り組んだ。数値実験によるデータから、虚二次体の円分Zp拡大の岩澤λ不変量は0または1となることが非常に多いと考えられている。また、総実代数体の円分Zp拡大の岩澤不変量は、任意の素数pに対してλp=μp=0となることが予想されている(Greenberg予想)。実二次体は総実代数体である。そのため、(1)は成り立つ可能性が高いと考えられる。実際にそれを証明することが問題(1)を考察する目的である。問題(2)を考察する目的としては、他の結果への適用や数値実験への適用などの実用性を挙げることができる。問題(1)は二次体の類数の非可除性の問題と密接に関係していて、問題(2)は二次体の類数の可除性の問題と関連している。問題(1)に関しては、部分的に肯定的な結果が得られた。問題(2)に関しては、与えられた奇素数pに対して、岩澤λp不変量が1となる虚二次体を少なくとも一つ具体的に構成することができた。