直交群上のデザインと符号の理論

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球面上のデザインと符号の理論とは,球面に「綺麗に」有限個の点を配置することを研究するものであり,現在も盛んに研究されている.報告者の研究テーマは,球面ではない別の空間,特に直交群で「綺麗な」点配置を研究できないかということである.ここで最初に問題となるのは,球面ではない別の空間の点配置に対して"綺麗さ"をどのように定義するかということにある.これまでに知られている結果としては,球面の替わりにランク1のコンパクト対称空間,グラスマン多様体,ユニタリ群などの空間については,球面の場合の類似となる"綺麗さ"の定、義が与えられており研究が進んでいる.報告者は昨年度までの研究において,球面の替わりに一般のコンパクト等質空間上で代数的組合せ論が展開できることを示した.今年度はこれまでに研究してきた抽象論を用いて,球面上のデザインを構成するためのアルゴリズムについての研究を行なった.その結果として,一般の測度空間上でデザインを段階的に構成するための手法を定式化し,その応用として,3次元球面上のデザインの新しい構成法を得た.この構成法で得られた球面デザインは,従来知られている構成で得られたものと比較して,濃度が小さく抑えられるというメリットがある.