偏微分方程式に対する異種項混合の数値計算法の開発

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拡散、移流、反応の異種な項を含む編微分方程式の数値計算法を開発する目的で、過去2年間の実績を踏まえ、本年度は次のとおり研究を実施した。1.Keller-Segel方程式(放物型楕円型方程式系)について、非負で可積分な初期データの総質量が臨界値8πより小さい場合、初期データに対して空間遠方での減衰条件を付加しないで、非負な時間大域解の球対称前進自己相似解への時間無限大での収束について研究した。スケーリング法を用いることで収束の速さを明らかにした。次に,Keller-Segel方程式(放物型方程式系)に対する2次元全領域での初期値問題の非負解の時間大域的存在について研究した。ポワソン方程式に対するBrezis-Melre不等式を熱方程式の場合に拡張し、その不等式を適用して解の時間大域的存在を示すことに成功した。2.Ertlのグループにより提唱された、金属表面上での白金触媒化学反応を記述したモデル方程である2変数反応拡散移流方程式を用いて、パターン形成のメカニズムと移流効果の関係を解明するために、定常パターン(解)について研究した。2次元有界領域が十分滑らかな境界をもつとき、ノイマン境界条件のもと定常解の一様有界性をSardの定理を用いて示した。これにより、拡散係数などのパラメータ依存による定常解の存在及び非存在を示すことが可能となった。また、拡散係数を大きくするとき、定常解の列が収束してその関数が満たすべき方程式(縮約系)を決定した。次に、空間1次元領域におけるこの縮約系の解の存在について、一方の拡散係数に関する大域的な分岐構造をも得た。