四次元開多様体上のゲージ理論の大域解析学的研究と無限次元の幾何学

四维开流形和无限维几何规范理论的全局解析研究

• 批准号: 11J00149
• 负责人: 松尾 信一郎
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 2013-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J00149/
• 关键词: 平均次元; ネバンリンナ理論; ゲージ理論

今年度はブローディ曲線の全体がなす空間の平均次元を研究した.京都大学の塚本真輝氏との共同研究である.プローディ曲線とは,複素平面から複素射影空間へのリプシッツ正則写像のことであり,その全てを集めた空間は無限次元になる.この無限次元空間の幾何学を研究した.正則写像とはコーシー=リーマン方程式の解のことであるが,コーシー=リーマン方程式とゲージ理論における反自己双対方程式には様々なアナロジーが成り立つ.この研究もそのアナロジーの一環として捉えることができる.平均次元とは,「無限次元空間の次元」としてグロモフが1999年に導入したコンパクト力学系の位相不変量である.例えば,N次元閉球の両側無限直積にはコンパクト離散力学系の構造が自然に入るが,その平均次元はちょうどNになる.コンパクト力学系の位相不変量には位相的エントロピーもあるが,平均次元はその位相的エントロピーの拡張になっている.位相的エントロピーが数え上げの力学系化だとすれば,平均次元は次元の力学系化である.さて,ブローディ曲線の全体がなす空間には,広義一様収束の位相を入れる.このとき,函数論における一様族の議論によって,この空間はコンパクトになるとわかる.また,ブローディ曲線の全体がなす空間には,複素数のなす群が,定義域へのずらしとして,自然に作用する.従って,ブローディ曲線の全体がなす空間はコンパクト力学系である.よって,その平均次元を考えることができる.我々の主定理は,その評価であり,有理型函数の場合には正確な値を求めた.これはリーマン=ロッホの定理の無限次元版と言うことができる.

今年，我们研究了整个Brody曲线形成的空间的平均维度。这是京都大学的Tsukamoto Masaki的联合研究。 Prody曲线是从复杂平面到复杂的投射空间的Lipschitz常规地图，收集所有这些的空间变成无限的尺寸。我们研究了这个无限尺寸空间的几何形状。正常地图是对库奇 - 里曼方程的解决方案，但是对于仪表理论中的cauchy-riemann方程和反自我双向方程而存在各种类比。这项研究也可以看作是类比的一部分。平均维度是格罗莫夫（Gromov）在1999年引入的紧凑机械系统的相位不变，作为“无限尺寸空间的维度”。例如，紧凑的离散机械系统的结构自然进入了n维闭合球的两侧无限乘积，但是平均维度正好是n。尽管托托动力学系统中的拓扑不变性剂也具有拓扑熵，但平均尺寸是该拓扑索引的扩展。如果拓扑熵是计数的动态系统，则平均维度是尺寸的动态系统。现在，在整个Brody曲线形成的空间中，放置了宽均匀收敛的相位。目前，通过对功能理论中统一家庭的讨论，这个空间变得紧凑。此外，在整个Brody曲线形成的空间中，由复数形成的群体自然地充当向域的移动。因此，整个Brody曲线形成的空间是一个紧凑的机械系统。因此，可以考虑其平均维度。我们的主要定理是其评估，在有理功能的情况下，我们确定了确切的值。可以说这是Riemann-Loch定理的无限维度版本。

项目成果

Brody曲線と平均次元

布罗迪曲线和平均尺寸

• 发表时间: 2012
• 作者: Kazuya Matsumoto;et al.;松尾信一郎
• 通讯作者: 松尾信一郎

Instanton approximation, periodic ASD connections, and mean dimension

• DOI: 10.1016/j.jfa.2010.11.008
• 发表时间: 2009-09
• 期刊: Journal of Functional Analysis
• 影响因子: 1.7
• 作者: Shinichiroh Matsuo;M. Tsukamoto

Brody curves and mean dimension

• DOI: 10.1090/s0894-0347-2014-00798-0
• 发表时间: 2011-10
• 期刊: Journal of the American Mathematical Society
• 影响因子: 3.9
• 作者: Shinichiroh Matsuo;M. Tsukamoto