1. Random matrices 2. Stochastic networks, and statistical recognition in biology

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In diesem Projekt werden asymptotische Approximationen für die Verteilung des Spektrums von großen zufälligen Matrizen und ihre Anwendungen untersucht. Diese Verteilungen sind oftmals universell, nur von wenigen Parametern des zugrunde liegenden stochastischen Matrizen-Modells abhängig. Sie tauchen als Grenzverteilungen in Modellen der Quantenmechanik, in der linearen statistischen Analyse hochdimensionaler Datensätze, bei dynamischen Systemen, in der Zahlentheorie und der algebraischen Kombinatorik von Sequenzen und Permutationen auf. Dies gilt insbesondere für die reskalierte Verteilung der Abstände der zufälligen Spektralwerte. Ziel ist es, die Konvergenz gegen universelle Grenzverteilungen für möglichst große Klassen von stochastischen Modellen zu untersuchen sowie Schranken für die Konvergenzgeschwindigkeit zu bestimmen. Inbesondere für die Verteilungen von Statistiken zufälliger Sequenzen und Alignments solcher Sequenzen haben derartige universelle (spektrale) Grenzverteilungen zahlreiche interessante Anwendungen. Ähnliches gilt für die asymptotischen Untersuchung von klassischen Tests für lineare Hypothesen von hochdimensionalen Datenvektoren, deren Dimension mit der Größe der Datensätze vergleichbar ist. Im Gegensatz zum Fall kleiner Dimensionen sind Grenzverteilungen hier oft noch unbekannt.