Darstellungstheorie von Liegruppen und Liealgebren

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Das vorliegende Projekt behandelt die Darstellungstheorie von Liegruppen und halbeinfachen (komplexen) Lie-Algebren. Den Schwerpunkt bildet die Untersuchung der Kategorie H von Harish-Chandra-(Bi-)Moduln. Solche (Bi-)Moduln treten in natürlicher Weise in der Mathematik und Physik auf. Eine gewisse volle Unterkategorie von H ist äquivalent zu der vielfach studierten Kategorie O von Bernstein und Gelfand. Die Frage ist nun, inwiefern sich bekannte Eigenschaften von O zumindest auf größere Unterkategorien übertragen lassen. Insbesondere stellen sich Fragen nach den Erweiterungen zwischen einfachen Objekten, Multiplizitätenformeln, Zerlegbarkeit und Sockel-/Radikalfiltrierungen der Moduln. Durch eine bahnbrechende Vermutung von Kazhdan und Lusztig lassen sich diese Fragen für Kategorie O durch reine Kombinatorik lösen. Die Herausforderung ist nun, eine Kombinatorik zu entwickeln, die die gesamte Kategorie H beschreibt. Auf der anderen Seite wollen wir versuchen, die recht umfangreichen und tiefgehenden geometrischen Beweise der Vermutung durch einen rein algebraischen Beweis zu ersetzen. Des weiteren hoffen wir, das Konzept von Harish-Chandra Bimoduln und Verschiebungsfunktoren allgemeiner definieren zu können, so daß die Ergebnisse auch auf andere quasi-erbliche Kategorien übertragen werden können.