Metrische Geometrie

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Die zentralen Objekte der Riemannschen Geometrie sind die Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Die geometrischen Methoden, derer man sich bei ihrem Studium lange bediente, basierten fast ausschließlich auf ihrer differenzierbaren Struktur. Heute weiß man, daß ein Studium dieser Objekte nicht ausreicht. Die Geometrie metrischer Räume ist als Rahmentheorie erkannt und die mit ihr einhergehenden metrischen Methoden liefern immer häufiger auch Rückschlüsse auf die Geometrie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Betrachtet man etwa den Raum der Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung K < -1, so ist dieser, versehen mit dem Gromov-Haussdorff Abstand, nicht vollständig. Als Randelemente treten hier sogenannte hyperbolische metrische Räume auf. Allgemeine hyperbolische Räume können sich lokal beliebig kompliziert gestalten, weisen aber dasselbe charakteristische Verhalten im Großen auf wie die Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Schnittkrümmung K < -1. Die Theorie dieser hyperbolischen Räume, die in den letzten Jahren intensiv vorangetrieben wurde, hat Anwendungen in vielen Teilgebieten der Mathematik (z.B. Gruppentheorie). Das Forschungsvorhaben ist es, kürzlich in Zusammenarbeit mit Viktor Schroeder entwickelte Methoden zu benutzen, um einerseits bekannte Beispiele hyperbolischer Räume zu untersuchen und andererseits neue derartige Räume zu konstruieren.