無限次元Lie群への作用素環論的アプローチ

以下の2つの問題に取り組んだ。(1)北海道大学・松澤泰道氏との研究で、有限型von Neumann環のユニタリ群の部分群(有限型Polish群)の研究。(2)有限型von Neumann環から最も遠いIII型因子環の超積の研究。(1)については博士課程進学時から考察している対象で、どの様なPolish群が有限型となるか、特にPopaの問題「両側不変距離を持つユニタリ表現可能なPolish群は有限型か」を解決することを目指した。今までの我々の研究で共役不変な正定値関数族が十分沢山存在することが有限性の必要十分条件である事がわかっている。またユニタリ表現可能(無限次元Hilbert空間のユニタリ群に強閉部分群として埋め込める事)な群は位相を生成する正定値関数が存在し、その関数を有界連続関数のなすBanach空間の中で考察し、群の共役作用による軌道の適当な意味でのコンパクト性を証明し、不動点を探すという方針を試みた。群が(局所)コンパクトでない為、古典的なコンパクト性の判定条件が使えないが、以下の中間段階の結果を得た:軌道の凸包のコンパクト開位相による閉包が一様ノルムで可分ならば群は有限型である。コンパクト開位相とBanach空間の弱位相の関係が不明な為このままではPopaの問題の完全解決には至っていない。一方でL^2ユニタリ群のLie環の具体的表示等を得た。引き続き反例の可能性も検討して研究を継続する。(2)については両側不変距離と環の有限性、位相群の左右の一様構造の対応を調べたいという動機等から、最も有限的でないIII型因子環とその超積の性質をCopenhagen大学のUffe Haagerup氏と研究を開始した。II_1型の場合と異なり、超積のまとまった理論がなく、複数の超積が提唱され状況は混沌としていたが、研究の第一段階としてGroh-Raynaud, Ocneanuの提唱した二種の超積のが、後者が前者のcornerとして実現される事を発見し、また正則状態に対してモジュラー自己同型群を取ることと超積を取る演算が可換であることを示した。しかし依然として不明な点も多く、現在もIII型因子環の超積の研究を継続中である。

以下の2つの問題に取り組んだ。(1)北海道大学・松澤泰道氏との研究で、有限型von Neumann環のユニタリ群の部分群(有限型Polish群)の研究。(2)有限型von Neumann環から最も遠いIII型因子環の超積の研究。(1)については博士課程進学時から考察している対象で、どの様なPolish群が有限型となるか、特にPopaの問題「両側不変距離を持つユニタリ表現可能なPolish群は有限型か」を解決することを目指した。今までの我々の研究で共役不変な正定値関数族が十分沢山存在することが有限性の必要十分条件である事がわかっている。またユニタリ表現可能(無限次元Hilbert空間のユニタリ群に強閉部分群として埋め込める事)な群は位相を生成する正定値関数が存在し、その関数を有界連続関数のなすBanach空間の中で考察し、群の共役作用による軌道の適当な意味でのコンパクト性を証明し、不動点を探すという方針を試みた。群が(局所)コンパクトでない為、古典的なコンパクト性の判定条件が使えないが、以下の中間段階の結果を得た:軌道の凸包のコンパクト開位相による閉包が一様ノルムで可分ならば群は有限型である。コンパクト開位相とBanach空間の弱位相の関係が不明な為このままではPopaの問題の完全解決には至っていない。一方でL^2ユニタリ群のLie環の具体的表示等を得た。引き続き反例の可能性も検討して研究を継続する。(2)については両側不変距離と環の有限性、位相群の左右の一様構造の対応を調べたいという動機等から、最も有限的でないIII型因子環とその超積の性質をCopenhagen大学のUffe Haagerup氏と研究を開始した。II_1型の場合と異なり、超積のまとまった理論がなく、複数の超積が提唱され状況は混沌としていたが、研究の第一段階としてGroh-Raynaud, Ocneanuの提唱した二種の超積のが、後者が前者のcornerとして実現される事を発見し、また正則状態に対してモジュラー自己同型群を取ることと超積を取る演算が可換であることを示した。しかし依然として不明な点も多く、現在もIII型因子環の超積の研究を継続中である。