Composed finite elements for approximating partial differential equations with jumping coefficients

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Eine Differentialgleichung mit Koeffizienten, die z.B. schnell oszillieren, führt zu einer mehrskaligen Lösung, wobei die kleine Skala durch die Details der Koeffizienten bestimmt wird. Dies ist ein Hindernis bei der Diskretisierung etwa durch finite Elemente. Ist deren Größe oberhalb der kleinen Skala, werden die Details nicht erfaßt, ist sie unterhalb der kleinen Skala, entstehen riesige Gleichungssysteme. Die Probleme werden erhöht, wenn Mehrgitterverfahren eingesetzt werden sollen, die per se eine ganze Hierarchie von Skalen realisieren müssen.Zum letzten Punkt sind im bisherigen Projektverlauf die "zusammengesetzen finiten Elemente" entwickelt, analysiert und implementiert worden. In der beantragten Projektphase wird eine neue Idee verfolgt. Die Lösung wird völlig vom Mehrskalenproblem entkoppelt, indem vorberechnete transformierte Basisfunktionen die Lösung einer Poisson-Aufgabe in die Lösung des Originalproblems übersetzen. Die eigentliche Aufgabe ist die datenschwache Darstellung von Steklov- und Spuroperatoren, da mit ihrer Hilfe die transformierten Basisfunktionen zu kodieren sind. Die datenschwachen Darstellungen sollen mit Hilfe eines Clusterbaumes und den Darstellungstechniken der H-Matrizen bewerkstelligt werden. Die entstehenden Aufgaben lassen sich einfach parallelisieren.