Ergodic theory and hyperbolic geometry

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Als ein wichtiges Instrument der klassischen Zahlentheorie sind Zetafunktionen unter anderem von Riemann verwandt worden. Die dynamischen Zetafunktionen von Ruelle und Smale übertragen dieses Konzept in die Theorie der dynamischen Systeme und stehen in diesem Zusammenhang zum Spektrum bestimmter Operatoren und damit zu Gleichgewichtszuständen der betrachteten Systeme. Die bisherigen Untersuchungen zu diesem Thema benutzen die Existenz Markoffpartitionen des Grundraumes. Ziel des Projektes ist es, diesen Zugang auf eine größere Klasse von dynamischen Systemen auszuweiten, die die genannte Markoffeigenschaft nicht mehr notwendigerweise erfüllen. Interessanterweise hat sich ergeben, dass sich diese Erweiterung sehr gut mit einer algebraischen Begriffsbildung beschreiben läßt, einer dynamischen Theorie der Gruppoide und deren C*-Algebren. Einhergehend damit wird anhand Kleinscher Gruppen (i.e. hyperbolische Geometrie in Dimension 3) und Julia-Mengen untersucht, inwiefern die neue Methodik und die damit zusammenhängende, zu entwickelnde Ergodentheorie neue Resultate liefern kann.