Superkonforme Quantenfeldtheorien und topologische Feldtheorie mit Spinstruktur

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Konforme Quantenfeldtheorien in zwei Dimensionen spielen als Weltflächentheorien des Strings eine zentrale Rolle in der Stringtheorie. Darüber hinaus haben sich auch noch vielfältige Anwendungen in der Beschreibung zweidimensionaler kritischer Systeme der klassischen statistischen Mechanik ergeben. Das Studium von String-Störungstheorie im Hintergrund von D-branes und in sogenannten Type 1-Theorien, aber auch das Studium von Defekten in Systemen der kondensierten Materie und von Perkolationswahrscheinlichkeiten fürht dazu, konforme Feldtheorien auch auf Flächen mit Rändern und sogar auf nicht-orientierbaren Flächen zu analysieren. Neuerdings liefert bei dieser Analyse die Kombination von zwei mathematischen Theorien - von topologischer Quantenfeldtheorie in drei Dimensionen mit Algebra und Darstellungstheorie in Tensorkategorien - unerwartet tiefe Einsichten in die Struktur konformer Quantenfeldtheorien. Insbesondere werden die Strukturkonstanten der verschiedenen Operatorprodukte als Knoteninvarianten in Drei-Mannigfaltigkeiten dargestellt und somit einer begrifflich klaren Analyse zugänglich gemacht. Die in der Stringtheorie auftretenden Quantenfeldtheorien haben jedoch über die konforme Symmetrie hinaus (Weltflächen-)Supersymmetrien. Das hier vorgestellte Projekt zielt darauf ab, durch die Verwendung von topologischen Feldtheorien in drei Dimensionen mit Spinstruktur diejenigen Eigenschaften superkonformer Quantenfeldtheorien in zwei Dimensionen besser zu verstehen, die spezifische Folgen der Weltflächensupersymmetrie sind.