Potential theory for non-local operators

今年度も京都大学数理解析研究所においてWang氏と定期的にインフォーマルなセミナーを行い、また海外から研究者を招聘してWang氏を交えて議論を行うことで、以下の進展が得られた。１）広い範疇のsubordinatorから作られる一般化された分数冪時間微分熱方程式の弱解の存在と一意性、そして解の確率論的表現について解析した。さらにこのような分数冪時間微分熱方程式の熱核の精密な上下評価を導出した。この結果は、Wang氏とZ.Q. Chen氏、P. Kim氏との共著論文にまとめ、雑誌に掲載予定である。２）長距離の飛躍を持つランダムコンダクタンスモデルで、特にコンダクタンスの形が安定過程型の場合に、コンダクタンスのある種の可積分条件の下で、媒質のランダム性に関して確率１でスケール極限が安定過程になることを証明した。この研究は、Wang氏と積み上げて来たstable-like processの熱核評価、ハルナック不等式の安定性の研究を発展させる方向であり、ランダムな非局所作用素のhomogenizationの問題にも繋がる重要性を持つ。現在、当該研究の成果をWang氏とX. Chen氏との共著論文として執筆中である。３）確率過程のthick pointの大偏差原理に関するDembo氏、Wang氏との共同研究は、技術的問題点が依然完全にはクリアできていない状況であるが、係数が周期関数かつ連続関数である場合には、divergence formの枠内で議論が進みうるという手応えを得ている。さらに議論を進め、共同研究の形にまとめることを目標としている。Wang氏とは今後も継続的に共同研究を行うことで合意を得ている。本研究で得られた安定性理論をさらに発展させて行きたいと考えている。

今年度も京都大学数理解析研究所においてWang氏と定期的にインフォーマルなセミナーを行い、また海外から研究者を招聘してWang氏を交えて議論を行うことで、以下の進展が得られた。１）広い範疇のsubordinatorから作られる一般化された分数冪時間微分熱方程式の弱解の存在と一意性、そして解の確率論的表現について解析した。さらにこのような分数冪時間微分熱方程式の熱核の精密な上下評価を導出した。この結果は、Wang氏とZ.Q. Chen氏、P. Kim氏との共著論文にまとめ、雑誌に掲載予定である。２）長距離の飛躍を持つランダムコンダクタンスモデルで、特にコンダクタンスの形が安定過程型の場合に、コンダクタンスのある種の可積分条件の下で、媒質のランダム性に関して確率１でスケール極限が安定過程になることを証明した。この研究は、Wang氏と積み上げて来たstable-like processの熱核評価、ハルナック不等式の安定性の研究を発展させる方向であり、ランダムな非局所作用素のhomogenizationの問題にも繋がる重要性を持つ。現在、当該研究の成果をWang氏とX. Chen氏との共著論文として執筆中である。３）確率過程のthick pointの大偏差原理に関するDembo氏、Wang氏との共同研究は、技術的問題点が依然完全にはクリアできていない状況であるが、係数が周期関数かつ連続関数である場合には、divergence formの枠内で議論が進みうるという手応えを得ている。さらに議論を進め、共同研究の形にまとめることを目標としている。Wang氏とは今後も継続的に共同研究を行うことで合意を得ている。本研究で得られた安定性理論をさらに発展させて行きたいと考えている。